专题05椭圆中的向量问题一、单选题1．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（）A． B． C． D．【解析】由可得，可得，即，所以左焦点，且直线斜率为，所以直线的方程为，设，，由可得，可得，，，，所以，故选：C.2．已知分别为双曲线的左､右焦点，为直角三角形，线段交双曲线于点Q，若，则（）A． B． C． D．【解析】双曲线为，由于是直角三角形，可知，所以，得，即，所以直线的方程为，将直线的方程与双曲线方程联立，，得，即，又，所以.故选：A.3．椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（）A．3 B． C． D．【解析】设，点M在椭圆上，所以椭圆的焦点为，，则，，所以，，由，可得，化简可得联立可解得，故M到y轴的距离为，故选：C.4．为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】.因为，即，所以的范围是.故选C.5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（）A． B． C． D．【解析】设,过点的直线方程为,由,得,由韦达定理得:,,因为，所以，则，即，解得，因为，所以，故选：A6．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设，因为点到直线、的距离之和为，所以点到点和点的距离之和为，由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，则，，所以，，，可得点的轨迹为椭圆，所以，，则，因为，所以，所以，由此可得，故选：A.7．已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设，，则由，可得，解得，，即.因为椭圆的离心率为，所以可设椭圆E的标准方程为，所以，消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选：A.8．已知椭圆为椭圆的左．右焦点，是椭圆上任一点，若的取值范围为，则椭圆方程为（）A． B． C． D．【解析】设，，，则，，所以，又，所以，又因为的取值范围为，故，，，所以，得方程为，故选：A二、多选题9．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（）A．的最小值为 B．的最小值为C．椭圆的离心率等于 D．椭圆的离心率等于【解析】由题意得外心满足，所以必在y轴上，设，，，则由得，即，所以，所以，所以，，所以，因为在椭圆上，设，所以，当时，有，所以的最小值为，故A正确，B错误；连接，则分别为的角平分线，由角平分线定理可知，，则，故D正确，C错误.故选：AD.10．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4B．椭圆上存在点，使得C．椭圆的离心率为D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3【解析】对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B正确．对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．对于选项D，设，则点到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．故选：BD．11．已知椭圆C∶(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（）A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率【解析】由直线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M有，，所以由作差得∶，所以则有，所以B错误；，所以，则有，可得，所以C正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB的最小值为通径，则有，即，解得a=2c，所以，D错误.故选：AC12．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得【解析】如图，设，则由正六边形性质可得点，由点在椭圆上可得，结合可得，椭圆离心率，当点为椭圆上顶点时，，此时；点在双曲线的渐近线上可得即,双曲线的离心率为,当点为双曲线的顶点时，易知.故选：ABD.三、填空题13．已知A为椭圆上的动点，MN为圆的一条直径，则的最大值为_____.【解析】因为圆，圆心半径为，设，.因为，，所以.因为在上，所以，所以，.函数，对称轴为，当时，取得最大值为.14．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则______．【解析】∵椭圆的离心率为，∴，即①，又椭圆过点，②，联立①②解得，，∴椭圆的方程为．将直线代入椭圆方程化简得．由题意知，，设，，则(*)，，将*式代入得，则.故答案为：2.15．在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，为两个焦点．若，则的值为________．【解析】不妨设的方程为，，，，其中．由条件知．所以．16．设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________【解析】设，将直线:代入椭圆方程，消去x化简得，所以，又，所以，所以，，所以，化简得，又直线:过椭圆的左焦点，所以，所以，所以或（舍去），所以，椭圆离心率.四、解答题17．已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，若椭圆的离心率，且．（1）求椭圆的解析式；（2）过的直线交椭圆于两点，且与共线，求角的大小．【解析】（1）由题意知，解得，，又从而．所以椭圆方程为（2）由（1）知，显然直线不垂直于轴，可设直线，，，，，则消去，得，则，于是，依题意：，故或，当时，又，故，所以与的夹角为．当时，是轴，所以与的夹角为．即角的大小为或；18．在平面直角坐标系中，已知椭圆中心在原点，焦距为2，右准线的方程为.过的直线交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.【解析】（1）设椭圆方程为，其中，解得：，，故所求椭圆方程为.（2）设方程为，代入椭圆中得：，即，设，，则，，由得，解得.则直线的方程为.19．已知焦点在轴的椭圆的方程为：，､分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，.（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.【解析】（1）由题意得，，，则，，由得：，即，所以C的方程为：.（2）设，，根据对称性只需考虑情形，此时，，，由已知得：，直线的方程为，所以，；因为，所以，将代入C的方程，解得：或.由直线的方程得：或，所以点P，Q的坐标分别为，或，.当时，直线的方程为，点到直线的距离为，的面积为；②当时，直线的方程为，点到直线的距离为，的面积为；综上所述，的面积为.20．已知椭圆C：的离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F与上顶点，原点O到直线l的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率不为0的直线n过点F，与椭圆C交于M，N两点，若椭圆C上一点P满足，求直线n的斜率.【解析】（1）由题意可得椭圆C的右焦点与上顶点，所以直线为，即，因为椭圆C的离心率为，原点O到直线的距离为，所以且，解得，，所以椭圆C的方程为.（2）因为直线n的斜率不为0，所以可设直线n的方程为.设点，联立方程得，则.因为，所以，将点P的坐标代入椭圆方程得，即，解得，故直线n的斜率为.21．设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.【解析】（1）由题意可得，，当时，，所以得：，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，，，，过点且斜率为的直线方程为，联立方程，可得，设，，则，，故，又，，，，所以，整理可得，解得.22．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得：，解得∴椭圆的标准方程是（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，由消整理得：，解得或，∴∵，∴，解得，满足所以存在符合题意的直线，其方程为.