专题21圆锥曲线的综合应用一、单选题1．已知F是抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，则三角形OAB面积的最小值为（）A． B． C． D．2【解析】由得，设由已知直线的斜率存在设为，所以直线，联立得，，当时，三角形面积的最小值为，故选：D．2．直线过椭圆的中心与椭圆交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为E，直线NE与椭圆交于另一个点P，则的值为（）A． B．1 C． D．【解析】设，，则，，，所以，即，所以，所以，即，所以，，即.故选：B.3．设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A． B． C． D．【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：①，当且仅当、、三点共线时，等号成立，在中可得：②，当且仅当、、三点共线时，等号成立，由①②得：，由椭圆方程可得：，即，由椭圆定义可得：，所以，.故选：A.4．椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为4B．椭圆C上不存在点P，使得C．椭圆C的离心率为D．P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3【解析】对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B错误．对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．对于选项D，设，则点P到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．故选：D．5．过抛物线的焦点F的直线于C交于A，B两点则取得最小值时，（）A． B． C． D．【解析】抛物线的焦点坐标为，，设点，，又由题意得直线的斜率一定存在，设其为，则其方程为.由，得，得，又，所以，当且仅当，即时，取等号，所以.故选：A.6．已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A． B．1 C． D．【解析】由题设可设，，则，故，因为双曲线的离心率为2，故，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：D.7．已知斜率不为0的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（）A．， B．， C．， D．，【解析】很明显点为线段的垂直平分线与轴的交点，设直线，，，，，联立直线方程与椭圆方程，可得，因此，所以线段的中点坐标为，，的垂直平分线的方程为，当时，，则，因此，所以，故选：B．8．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（）A． B．C． D．【解析】双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P，∴直线PA的方程为x=-1，PB的方程为x=-+1，联立可得y2-=0，解得y=0或y=，将y=代入x=-1可得x=，即有M，联立可得y2-y=0，解得y=0或y=，将y=代入x=-+1，可得x=，即N设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得kMN=kQN，即有=，将M，N的坐标代入化简可得=，解得s=2，即Q(2，0)，设过Q的直线方程为x=my+2，联立得(3m2-1)y2+12my+9=0，设S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=，解得m2=，可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|==·=3·=故选：A．二、多选题9．已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（）A．若，则；B．若，则满足题意的点有四个；C．椭圆内接矩形周长的最大值为20；D．若为钝角三角形，则；【解析】∵椭圆：，∴，∴，，设，则，，若，则，所以不存在，故A错误；若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时，当为钝角三角形时，，所以，故D正确.故选：BCD10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（）A．抛物线的方程为B．的中点到准线的距离的最小值为3C．D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点【解析】当直线的斜率不存在时，因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，由可得，此时，当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，由可得：，所以，，所以，对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，所以抛物线的方程为，故选项A正确；对于B：当直线的斜率不存在时，的中点到准线的距离为，当直线的斜率存在时，的中点横坐标为，此时的中点到准线的距离，故选项B正确；对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时，故选项C不正确；对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，由可得：，即，不妨设，，所以，，所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；故选：ABD11．已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（）A． B．C． D．【解析】如图，连接，，设交椭圆于，则，，故正确；设，，，，，，故错误；设，，则，又△的面积为，，即，，又，，故正确；由，，两式作商可得：，故正确．故选：ACD12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，下列说法中正确的有（）A．若a＝2，b＝，且，则B．若a＝2，b＝，且，则C．若a＝5，m＝，则D．若，且，则【解析】对于A，若a＝2，b＝，，则，故A错误，对于B：若a＝2，b＝，∴c＝1，，，，所以，，，故B正确，对于C，若a＝5，m＝，因为椭圆与双曲线共焦点，，，设，则，故C错误对于D，设，，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即，当时可得，故D正确故选：BD三、填空题13．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.【解析】设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.14．双曲线的焦点在圆上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P，Q两点满足（其中O是坐标原点），则的面积是_________．【解析】因为双曲线的焦点在圆上，所以，设线段与轴的交点坐标为，结合双曲线与圆的对称性可知为线段的中点，又因为，即，且，则，又因为直线的方程为，所以，又因为在圆上，所以，又因为，则，所以，从而，故,故答案为：.15．已知椭圆：，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线、､的斜率之和为1.则______________.【解析】设,,,,,,因为,在椭圆上,所以,,两式相减得:,即,同理可得,,所以因为直线､､的斜率之和为1,所以,16．设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.【解析】设，，由椭圆的定义可得，设，则，所以，即，①因为，所以，②两式相除可得，令可得，所以，因为，所以，所以当即，时取得最小值，此时最小为，当或即，时取得最大值，此时最大为，所以椭圆离心率的取值范围为四、解答题17．已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点（1）当时，求面积的最大值；（2）设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．【解析】（1）当时，将代入，解得，．当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，面积的最大值是．（2）证明：设、两点坐标分别为、，从而．设，则有，，．直线的方程为，令，得，从而．直线的方程为，令，得，从而．所以，为定值．18．已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围．【解析】（1），故，即，，故轨迹为椭圆，，，，故，故轨迹方程为：（）.（2）设，则，，，即，，即，即，，设，，.故实数的取值范围为.19．已知为坐标原点，椭圆：的左､右焦点分别为，，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过，的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，若，点在上，.证明：存在点，使得为定值.【解析】（1）由题意，，，则.又圆与直线相切，则圆的半径，而圆又过两个焦点，结合椭圆定义可知，，所以，所以椭圆的标准方程为：.（2）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，将带入得：，所以，，所以，所以，解得，，直线过定点或，根据题意，在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，所以存在定点或，使得为定值.20．在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率大于的直线交于，两点，点，连接，交直线于，两点，证明：点在以为直径的圆上．【解析】（1）设，由题意得，化简得，所以曲线的方程为.（2）证明：设，，，，设直线，且，联立得，由韦达定理可得，，由，解得，由，解得，故点在以为直径的圆上．21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由（1）可知，，假设在轴上存在一点，使得恒为常数．①当直线与轴不垂直时，设其方程为，设，，，，联立方程组，可得，所以，，故，因为是与无关的常数，则有，即，此时；②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，，当时，亦有．综上所述，在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为．22．已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．【解析】（1）由内切圆的性质得，所以曲线E是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆，且A，B，C不共线，则，，故E的方程为．（2）当T不为坐标原点时，设，则两式相减得，即，联立方程组整理得，．因为T是线段的中点，所以．联立方程组解得．联立方程组解得，所以，故．当T为坐标原点时，由对称性知，与的大小关系不确定．