专题07功能关系和能量守恒定律一、和功有关的基本公式：①功：；（此公式只适用于恒力做功）②总功：；；③重力做功：；（重力做功多少只与物体初、末位置的高度差有关，与运动路径无关）④功率：；二、与能量有关的基本公式：①动能：；②弹簧弹性势能：；③重力势能：；④动能定理：⑤机械能守恒定律：，，；⑥功能关系：，；⑦能量守恒定律：或。在解与功能关系和能量守恒定律有关的计算题时，应首先正确选取研究对象，确定研究过程；然后对其过程进行分析，①分段或全程，对研究对象进行受力分析，明确各力的做工情况，②分析初、末状态，确定能量变化；最后针对不同的研究对象或研究过程，选择动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律或利用功能关系列出方程求解即可。一、动能定理1.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。2.应用动能定理解题的基本步骤（1）选取研究对象，明确它的运动过程。（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。（3）明确物体在始、末状态的动能和。（4）列出动能定理的方程及其他必要的辅助方程，进行求解。动能定理中的是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即若物体所受的各力为恒力时，可先求出，再求3.一个物体动能的变化与合外力做的功具有等量代换的关系。因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。二、机械能守恒定律的应用1.应用机械能守恒定律与动能定理解决问题的区别：（1）适用条件不同：机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理没有此条件的限制，它的变化量对应于外力所做的总功。（2）分析内容不同：机械能守恒定律解题只分析研究对象的初、末状态的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）；而用动能定理解题时，分析研究对象的初、末状态的动能，此外还要分析该过程中所有外力所做的总功。（3）机械能守恒定律与动能定理解题时的方程不同。2.机械能守恒定律的几种表述形式：若某一系统的机械能守恒，则机械能守恒定律可以表示为如下的形式：（1）初状态的机械能等于末状态的机械能：（2）系统势能（或动能）的增加量等于动能（或势能）的减少量：（3）系统内A物体的机械能减少量等于B物体的机械能增加量：。三、功能关系的主要形式有以下几种：（1）合外力做功等于物体动能的增加量（动能定理），即。（2）重力做功对应重力势能的改变，，重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。（3）弹簧弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。（4）除重力以外的其它力做的功与物体机械能的增量相对应，即①除重力以外的其它力做多少正功，物体的机械能就增加多少；②除重力以外的其它力做多少负功，物体的机械能就减少多少；③除重力以外的其它力不做功，物体的机械能守恒。（5）电场力做功与电势能的关系，，电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。（6）安培力做正功，电能转化为其它形式的能；克服安培力做功，其它形式的能转化为电能。（7）在应用功能关系时应注意，搞清力对“谁”做功的问题，对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位移去解。功引起子弹动能的变化，但不能说功就是能，也不能说“功变成能”。功是能量转化的量度，可以说在能量转化的过程中功扮演着重要角色。四、用能量守恒解题的步骤：（1）首先分清有多少种形式的能在变化；（2）分别列出减少的能量和增加的能量；（3）列恒等式求解；五、摩擦力做功与产生内能的关系1．静摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功还可以做负功，也可能不做功；（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其它形式的能量；（3）相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。2．滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一相对地面静止，则滑动摩擦力对该物体不做功）；（2）在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对位移的积，即，表示物体系统损失了机械能，克服了摩擦力做功，（摩擦生热）；（3）一对滑动摩擦力做功的过程中能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量。典例1：（2022·湖北·高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。（1）求C的质量；（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。【答案】（1）；（2）6.5mg；（3）【规范答题】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知解得（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知解得CD碰撞后D向下运动距离后停止，根据动能定理可知解得F=6.5mg（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知令对上式求导数可得当时解得即此时于是有解得此时C的最大动能为典例2：（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。【答案】（1）；（2）见解析；（3）【规范答题】（1）根据动能定理有（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则运动周期根据开普勒第三定律，k为常量，得即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r2=4r1设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有解得由于恒星质量是太阳质量的2倍，得典例3：（2022·海南·模拟）如图所示，长度的光滑水平轨道BC左端与半径的竖直四分之一光滑圆弧轨道AB在B点平滑连接，右端与竖直半圆形光滑轨道CDE在C点平滑连接。将一质量的小物块从距离A点正上方处由静止释放，小物块恰好能到达E点。重力加速度g取10m/s2，求：（1）物块通过B处时对轨道的压力大小：（2）半圆弧轨道CDE的半径；（3）若水平面BC粗糙且与物块之间的动摩擦因数，通过计算说明小物块在半圆轨道CDE上运动时是否会脱离半圆形轨道：若不会脱离半圆轨道，小物块最终会停在何处。（结果用分式表示）【答案】（1）；（2）；（3）距B点m处【规范答题】（1）对小物块，从释放到运动至B点的过程中，由动能定理得对小物块，在B点，由牛顿第二定律得由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力等于，即以上方程联立得（2）小物块在E点由重力提供向心力有小物块从B点到E点，由动能定理得以上两个方程联立得（3）设小物块在半圆轨道CDE上能上升的最大高度为h，则小物块从B点到速度减为零的过程中，由动能定理得解得由此可知，小物块还未到达圆心等高处，因此小物块在CDE上运动时不会脱离半圆轨道小物块从B点到停止的过程中，由动能定理得小物块距B点的距离以上方程联立得故小物块最终会停在距B点m处。典例4：（2022·广东惠州·模拟）某快递点的传送装置（传送带与水平面的夹角）因停电而锁止，工人找了块质量为的带钩木板置于传送带上，再在木板上放置货物，通过轻绳与木板钩子相连，工人可在高处工作台对木板施加平行于传送带方向、大小为的拉力，使得货物能从静止开始向上运动。已知木板与传送带间的动摩擦因数，货物质量，货物与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，，求：（1）货物的加速度大小？（2）拉力作用（货物未到达顶端）后，货物的机械能增加量？（3）已知传送带顺时针稳定转动的速度为（k可调，且）。某次工作中，当木板的速度到后，突然来电，工人马上撤去拉力，不计传送带的加速时间。k取何值时，撤去拉力至木板速度减为0的过程中（仍未到达顶端），木板与传送带之间的摩擦所产生的热量最小？【答案】（1）；（2）；（3）【规范答题】（1）假设货物与木板相对静止，一起匀加速运动，设加速度为a，对货物与木板整体分析，由牛顿第二定律得解得设木板对货物的静摩擦力为f，对货物分析得可得货物与木板间的最大静摩擦力为由于木板对货物的静摩擦力小于最大静摩擦力，假设符合实际情况，所以货物的加速度大小为。（2）拉力作用后，货物的速度为货物的位移为所以货物增加的机械能为（3）突然来电，工人撤去拉力后，由于，货物与木板会保持相对静止，一起做变速运动，木板从速度减速到的过程，由牛顿第二定律解得减速时间在时间内，木板与传送带的相对位移大小为木板从速度减速到0的过程，由牛顿第二定律解得减速时间在时间内，木板与传送带的相对位移大小为在时间内，木板与传送带之间的摩擦所产生的热量为整理得由上式可知，当时，木板与传送带之间的摩擦所产生的热量最小。1．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学二模）如图所示，四分之一光滑圆轨道AB固定在竖直平面内，粗糙水平轨道BC与圆弧AB相切于B点。现将一质量为m=1kg，可视为质点的物块从与圆心等高的A点静止释放，物块滑至圆弧轨道最低点B时的速度大小为，之后物块向右滑上动摩擦因素的粗糙水平轨道BC，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。（1）求光滑圆轨道AB的半径大小R；（2）物块滑至圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F；（3）物体最终停下来，求物体在水平面上通过的位移x。【答案】（1）0.2m；（2）30N；（3）0.4m【规范答题】（1）物块从A点到B点运动的过程中，由动能定理可得解得R=0.2m（2）物块在B点时解得FN=30N由牛顿第三定律得F=30N（3）物块从释放到在水平轨道上静止的全过程中，由动能定理可得解得0.4m2．（2022·四川省内江市第六中学模拟）中国首艘航母“辽宁号”已投入使用，歼-15是我国自主研制的重型轰炸机，具备优秀舰载机特点。2012年11月，歼-15舰载机在“辽宁号”上成功完成首次上舰飞行试验，是我国航空、舰船技术发展的重大跨越。假若有一质量的战机在某一航母上采用滑行起动加速达到的起飞速度飞离