专题19圆锥曲线与垂心问题一、单选题1．已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）A． B． C． D．【解析】如图所示，为的垂心，为焦点，，垂直平分线段，直线垂直于轴．设，，其中．为垂心，，，即，解得，直线的方程为，即．故选：C．2．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【解析】，则双曲线的渐近线为，则当时，，设，∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心，∴OA⊥BF2，即，即，则，即，∵∴，则，则离心率，故选C．3．设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（）A． B． C． D．【解析】设点，则点，设点在第一象限，抛物线的焦点为，设的垂心为，由于，则点的横坐标为，可得点，，则，，，，解得，所以，点的坐标为，所以，，.故选：B.4．已知双曲线：(，)的渐近线与抛物线：()交于点、、，若的垂心为抛物线的焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，解方程组得：，则点的坐标为，抛物线的焦点的坐标为，∵是的垂心，∴，∴，即，∴，解得，故选：A.5．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（）A． B． C． D．【解析】设，则解得：，同理，根据得到解得，故选：6．已知双曲线：的虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为（）A． B．2 C． D．【解析】设的垂心为，则，不妨设，，，，因为，所以则，，，故选：D．7．已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【解析】对B，若O为的内心，则到直线的距离等于，显然不可能，到直线的距离恒小于，故B错误；对C，若O为的外心，则，，和已知矛盾，故B错误；对D，若O为的重心，则，这也显然错误，故C错误；根据排除法，O可能为的垂心，故选：A.8．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（）A． B． C． D．【解析】椭圆的左右焦点为，，由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，对两边同时求关于的导数，得，则，则椭圆在点处的切线斜率为，则椭圆在点处的切线方程为，即，即；同理，椭圆在点处的切线方程为，由得，则，所以，即；又的垂心为，则，，即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，由得，所以，则，因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.二、多选题9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．【解析】设，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，，化简得，此时双曲线的离心率；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得或，此时双曲线的离心率或，若为重心，为垂心、为外心，则，所以，化简得或都不成立.综上所述：或或或.故选：ABD10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【解析】因为，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，由，点可得的中点为，且，所以线段的中垂线方程为：，即，因为三角形的“欧拉线”与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以圆的方程为：，因为圆心到直线的距离，A中，圆上点到直线的距离的最大值为，故A不正确：B中，圆上点到直线的距离的最小值为，故B正确；C中：令，所以，代入圆的方程，可得，整理可得，由于在圆上，所以有根，则，整理可得：，解得：，所以的最小值为1，即的最小值为1，所以C错误；D中：圆心坐标，半径为；圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，所以，即解得：，解得，所以D正确；故选：BD．三、填空题11．已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．【解析】由抛物线的性质知关于轴对称,设，则，焦点为.由题意知，，所以，即.因为，所以，即，所以直线AB的方程为.12．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|＝4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为_____．【解析】显然直线AB的斜率不为0,由题意设直线AB的方程为：x＝my+1,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立直线AB与抛物线的方程,整理可得y2﹣4my﹣4＝0,y1+y2＝4m,所以x1+x2＝4m2+2,由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4,由题意可得4m2+4＝4,所以m＝0,即直线AB垂直于x轴,所以可得A（1,2）,B（1,﹣2）,因为原点O是△ABC的垂心,所以C在x轴上,设C（a,0）,可得AO⊥BC,即0，即（1,2）•（1﹣a,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a﹣4＝0,解得a＝﹣3,所以C的坐标为：,13．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=____________.【解析】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，故可设A、B的坐标为.于是OA的方程为ay=2x，.BF的斜率，据，得，因此，h=a2=5，所以.14．已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______.【解析】上顶点，右焦点F为垂心，因为＝﹣1，且FM⊥l，所以k1＝1，所以设PQ直线y＝x+m，且设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．又F为△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴，又，∴∴，∴，经检验满足m2＜3，∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0，∵x﹣y+1＝0过M点即MP重合不构成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．故答案为15．已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.【解析】设的垂心为，则，不妨设，则，代入渐近线方程，解得，则，因为直线与双曲线交于点，，则，两点的坐标分别为：，，因为，化简可得，所以双曲线的离心率为，16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,解方程组得：，所以点的坐标为,抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,所以，.所以，.四、解答题17．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别为，，，直线交线段于点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是△的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）法一：设，又，，，∴直线的方程为，直线的方程为．由，得点的横坐标为．由，知：，则，即，解得，法二：如图，设的左焦点为，连接．由椭圆的对称性，得，则，即．设，则，，可得，有，∴．由，即，得，∴，，．故椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，则直线的斜率．假设存在满足题意的直线，则．设的斜率为，则，所以．设的方程为，，，由，得，则，．由，得．又，即，又，，∴，又，，∴，即，整理得，解得或．当时，或与重合，不符合题意；当时，满足，∴存在直线，使得是△的垂心，的方程为．18．已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.【解析】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.19．已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；（2）若，求证：的垂心在定直线上.【解析】（1）设，，由得，所以，所以直线的斜率为.∴直线的方程为，整理得①，同理可得的方程为②，∵，均过，∴，∴直线既过，也过，∴直线的方程为：，设与轴交于点，则，所以，在①式中令，∴，同理，∴，∴.（2）仿照（1）知方程为，，，，，由∴.∵为的垂心，设，，，由，∴，∴，故的垂心在定直线上.20．已知①如图，长，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆与轴相交的下上顶点，若一直线交椭圆于两点，问是否存在直线使得为的垂心.若存在请求出直线的方程，若不存在请说明理由.【解析】（1）选择条件①：由题意得，由已知条件，故M轨迹为椭圆，标准方程为.选择条件②：∥，故，，又，所以根据椭圆的定义可得M点是以，为焦点的椭圆，其中，又直线与轴不重合，故M不在x轴上，故，则M点的轨迹方程为：不是椭圆；（2）假设存在直线交椭圆于P、Q两点，且B恰好为的垂心，则设，，，，，，于是设直线方程为，联立直线和椭圆方程可得：，，根据韦达定理可知又，，，根据，，代入得到，将韦达定理代入上式可得整理后可得，解得（舍去），，所以存在直线，且直线方程为.21．椭圆长轴端点为，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于两点，问：是否存在直线l，使点F恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为，因为，所以.因为，所以，即，即，所以，所以椭圆方程为.（2）假设存在直线l交椭圆于两点，使点F恰为的垂心.设，因为，所以，所以设直线的方程为，由，得，所以，.因为F为的垂心，所以，即，所以，所以，解得或(舍)，经检验满足.所以存在直线l交椭圆于两点，使点F恰为的垂心，且直线l的方程为.22．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且.（1）证明：直线AB经过一个定点，并求出定点坐标；（2）设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值.【解析】（1）联立与消去化简整理得：.设，，则，.由可知.又，，所以，所以，即，所以.所以直线，即，所以它经过定点.（2）由（1）可知：.因为E是的垂心，所以，且.由得，即①.设，则②，又，，所以③，由①②③得：，即，同理：由可得：.所以，是方程的两组解，故此方程表示直线.又因为直线，所以，，解得：，.所以.所以.①当时，，解得.②当时，，解得.综上所述：，或.