专题18圆锥曲线与外心问题一、单选题1．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为A．4 B． C． D．【解析】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选.2．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【解析】由题,因为,所以、、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D3．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．5【解析】不妨设点在第二象限，设，，由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，故有，且，解得，，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C.4．已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【解析】对B，若O为的内心，则到直线的距离等于，显然不可能，到直线的距离恒小于，故B错误；对C，若O为的外心，则，，和已知矛盾，故B错误；对D，若O为的重心，则，这也显然错误，故C错误；根据排除法，O可能为的垂心，故选：A.5．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x【解析】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．故选：D．二、填空题6．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).7．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.【解析】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同，设，为两曲线在第二象限的交点，，，，设，，，，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，8．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．【解析】由G是△PF1F2的外心，则G在y轴的正半轴上，，则，则P，G，O三点共线，即P位于上顶点，则△PF1F2的面积S=×b×2c=bc=8，由a2=b2+c2≥2bc=16，则a≥4，当且仅当b=c=2时取等号，∴a的最小值为4，故答案为4．9．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.【解析】由题意知,为外接圆的半径，在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),当,即时,取得最大值2.设,,易知,,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,,则,,所以,解得.故.10．已知的三个顶点均在抛物线上，给出下列命题：①若直线过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；②若直线过点，则存在点使为直角三角形；③存在，使抛物线的焦点恰为的外心；④若边的中线轴，，则的面积为.其中正确的序号为______________．【解析】设三点坐标分别为，①直线过点，设方程为，联立，消去，得，，抛物线的焦点恰为的重心，，将点坐标代入抛物线方程，当时，，①正确；②直线过点，设方程为，联立消去得，，，，而点在抛物线上，故②正确；③设以抛物线焦点为圆心的圆半径为，其方程为，与抛物线方程联立得，方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，不存在，使抛物线的焦点恰为的外心；③不正确；④的方程为，代入抛物线方程得，，，设中点，轴，，，代入抛物线方程得，.④不正确.故答案为:①②.三、解答题11．在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．求C的方程；若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．【解析】（1）联立得，设A(则，.从而.，，即，解得.故的方程为.（2）设线段的中点为.由（1）知，，.则线段的中垂线方程为，即.联立得，解得或4.从而的外心的坐标为或.12．已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.【解析】（1）由题意知∶，∴a=2c，，设△的内切圆半径为r，则.故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，所以，把a=2c，代入，解得∶a=2，，所以椭圆方程为（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为，代入椭圆方程得.，设，则，，因此可得，所以AB的中点坐标为(，)因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，由题意可知B，Q关于y轴对称，故，AB的垂直平分线方程为令y=0，得，即G(，0)，所以又=故，所以为定值，定值为4.13．设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.（1）若，求的方程；（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，代入得，设，则，若，则，解得，所以，的方程为（2）由（1）得的中点坐标为所以因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，的垂直平分线为令，得，即，所以，，所以为定值.14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.【解析】（1）依题意解得所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.①设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.15．已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.【解析】（Ⅰ）由已知可得：且，即，，所以双曲线的方程为；（Ⅱ）设，，且由已知得，渐近线方程为，联立，解得：，所以；联立，解得：，所以；法一：设的外心，则由得：即——①，同理——②，①②两式相乘得，又∵所以的外心的轨迹方程为；法二：设的外心，线段的中垂线方程为：，线段的中垂线方程为：，联立，解得∵，即，代入得所以的外心的轨迹方程为；16．已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若，是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点．【解析】（1）由题意到点的距离等于点到直线的距离，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，抛物线方程即点轨迹方程是．（2）因为直线过的外心，所以，的斜率一定存在，设方程为，代入抛物线方程得，或，所以，，即，同理得，直线方程为，整理得，时，，所以直线过定点．17．已知抛物线C：，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，面积为2．（1）求抛物线C标准方程；（2）若直线为抛物线C的两条切线，设的外心为M（点M不与焦点F重合），求的所有可能取值．【解析】（1）当直线过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为，代入抛物线方程，可得，故，，得，故抛物线C标准方程为．（2）设．直线的方程为：联立得，得，所以直线，同理直线，联立得则的中垂线方程分别为：：，：．联立解得：，由于，故，，故，所以，则的所有可能取值为1．18．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点在圆上，.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，求线段长度的最大值，并求出当线段长度最大时，外接圆的标准方程.【解析】（1）设，则，因为，所以所以，由上式得：，所以，所以圆的方程为.（2）把代入圆的方程得，所以，，作出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点.直线的方程为：.当时，.因为点在抛物线上，所以所以.由得，所以，.当且仅当时，即时取到最大值.此时点坐标为，所以外接圆的半径，所以外接圆的标准方程为.19．已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.（1）若垂直l于点，且，求AF的长；（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.【解析】（1）由，，得，，故；（2）设，直线，由，得，由韦达定理得：，即有，易得的中垂线方程联立可得：，可得：，外心的轨迹方程为.20．已知抛物线，焦点为F，过外一点Q（不在x轴上），作的两条切线，切点分别为A，B，直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，记的外心为M，的外心为T．（1）若，求线段CF的长度；（2）当点Q在曲线上运动时，求的最大值．【解析】，由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，设方程为，不妨设，，，设，(1)，，，则，，所以，，，所以线段CF的长度为.(2)，设，设方程为，，同理，，的中点，，中垂线方程为，，即，线段的中点，线段的中垂线方程为，，，所以，，，线段的中垂线方程为，的中点，，中垂线方程为，，，，在上，所以，令，，，，令，，开口向下，，所以的最大值为.