专题12抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（）A． B． C． D．【解析】设直线方程为，，，联立方程组，整理得，因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），所以，可得，则．故选：C.2．已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（）A． B． C． D．1【解析】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，因为弦的中点为，所以，所以点的横坐标是，故选：C3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3，2)，则抛物线C的方程为（）A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8xC．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x【解析】由题可得直线l的方程为，与抛物线方程C：y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－k2px－2px＋＝0．∵AB的中点为M(3，2)，∴，解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝8x．故选：B．4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若为定值，则这个定值是（）A．p B．2p C． D．【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的坐标为，可取过F与x轴垂直的直线x＝，把x＝代入y2＝2px，得y＝±p，假设，故|MF|＝p，|NF|＝p，所以，即该定值为．故选：D．5．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）A．16 B．20 C．24 D．32【解析】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：由题意可知，则，联立，整理得：设，，则，设，，同理可得：由抛物线的性质可得：，∴，当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.故选：C6．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（）A．3 B．2 C． D．1【解析】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．故选：C.7．过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（）A． B． C． D．【解析】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，∴若，则，，又易得，∴，则，即，∴，又，而，∴，即，又，则，故.故选：D8．设直线与抛物线相交于､两点，为坐标原点，若，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】因为直线与抛物线相交于､两点，所以该直线斜率不为零，设该直线的方程为，其中不同时为零；设､，由可得，则，，即；因此，又，所以，即，解得；所以；又点到直线的距离为，所以的面积为，即面积的取值范围是.故选：D.二、多选题9．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【解析】对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，，故B正确；对于C，若，则过点，则，当时，，即抛物线通经的长，故C正确，对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确．故选：BCD．10．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（）A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线为C．直线的斜率为1 D．的面积为【解析】依题意直线过抛物线的焦点，，中点到轴的距离是6，结合抛物线的定义可知，所以抛物线方程为，准线为，所以A正确，B错误.抛物线焦点坐标为，设直线的方程为，，消去并化简得，设，则.所以，解得.所以C错误.当时，直线的方程为，即，原点到直线的距离为，所以.当时，同理求得，D正确.故选：AD11．若抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线交于两点，过A，B分别作抛物线的切线，设交于点P，下列命题正确的有（）A． B． C． D．点P的纵坐标为定值【解析】由题意，直线的倾斜角为满足.设直线的方程为,由，得，故选项A正确.,所以选项C不正确.设的方程为，由，得，所以，即，即，所以，则，同理设的方程为，可得所以，所以，故选项B正确.所以的方程为，即，同理的方程为，则由，可得，将其代入其中一个方程可得，所以点P的纵坐标为定值，故选项D正确，故选：ABD12．已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（）A． B．C． D．点在以为直径的圆内【解析】对于A，设，，由得：，，又线段的中点为，，解得：，A正确；对于B，在直线上，，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，，C错误；对于D，设，则，又，，，在以为直径的圆上，D错误.故选：AB.三、填空题13．已知直线与抛物线交于，两点，则______．【解析】联立，得：，即，设，，则，，所以.14．直线与抛物线交于，两点，若线段被点平分，则抛物线的准线方程为__________.【解析】设，，由线段被点平分，可知，又，，所以，由题意可知，直线的斜率存在，且为1，所以，所以，即，所以.故抛物线的准线方程为.15．已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.【解析】如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.16．在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.【解析】抛物线的焦点，因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，直线AF方程为：，由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，从而有，所以的面积为.四、解答题17．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．【解析】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，的方程为．（2）设，则，两式相减得，，，联立，消去整理得，，∵直线过抛物线的焦点，．18．已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交C于，两点，.（1）求抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，D为C上一点，若，求的值.【解析】（1）直线的方程可表示为，与抛物线方程联立可得方程组，消去y得，解得，.由于直线过焦点，故，得，解得，所以抛物线C的方程为.（2）由（1）知，.设，由，得，所以.因为点D在C上，所以，化简得，解得或.19．已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且∠OFM=(O为坐标原点).（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△AOB面积的最小值.【解析】（1）抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，准线方程为：，过点M作准线的垂线，垂足为N，过点M作x轴的垂线，垂足为D，如图，依题意得：，即，解得，抛物线C的方程为；（2）焦点F(2，0)，由题意知直线l不垂直于y轴，设直线l方程为，由消去x得，设，则有，，，而坐标原点到直线l的距离，因此，，当且仅当时取“=”，所以△AOB面积的最小值为8.20．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．【解析】（1）依题意消去得，即，①当时，显然方程只有一个解，满足条件；②当时，，解得；综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，由，消去得，所以，，所以，所以.21．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆与抛物线的公共焦点为所以焦点到直线的距离为，可得：，所以，，由，可得：，所以，所以椭圆，抛物线；由（1）知：，设直线，，，，，由可得：，所以，，所以，由可得：，所以，因为是焦点弦，所以，所以若为常数，则，所以.22．已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．【解析】（1）设直线为代入整理得设，所以，又所以，由得，综上：所求抛物线的方程为（2）由（1）得，，因为所以，，令，有故当时，四边形面积有最小值