专题07双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．【解析】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【解析】由题意可设双曲线方程为，，由得，则，，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C3．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（）A．2 B．2C．3 D．4【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， ①，. ②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故选：D4．已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（）A． B． C．10 D．【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，∴，即，∵左焦点，∴，∴，∴，，∴双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，∴，，∴．故选:C5．已知双曲线C:(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C． D．【解析】设，，由已知可得，，相减化简可得，又AB的中点N(12,15)，直线AB过点P(3,6)，∴，，，∴，∴，∴离心率，故选：C.6．已知双曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（）A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0【解析】设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝＝8，故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.故选：A．7．已知双曲线左､右焦点分别为，，过作轴的垂线交双曲线的于，两点，若的周长为25，则双曲线的渐近线方程为（）．A． B． C． D．【解析】设，，因为垂直x轴，所以，又A、B在双曲线C上，所以，又，所以，所以，所以的周长为=，所以或（舍）所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：A8．设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为A． B． C． D．【解析】为双曲线的一条渐近线，故设双曲线方程为，则右焦点的坐标为，，因为在上，且，则右焦点的坐标为到直线的距离，，，，故，故选：二、多选题9．双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（）A．或B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D．满足的直线有3条【解析】由双曲线的方程为，则在双曲线中选项A，当点在右支上时，，由，所以点在左支上，则，所以选项A不正确.选项B.双曲线的离心率为，所以选项B不正确.选项C.双曲线的渐近线方程为圆的半径为1，圆心为到渐近线的距离为所以的渐近线与圆相切，故选项C正确.选项D.由直线：恒过点，即直线：过双曲线的右焦点.若直线与双曲线的右支相交于A，两点，当轴时，由，所以此时满足条件的直线有2条.若直线与双曲线的左、右支各有一个交点，此时则满足条件的直线即为，故此时只有一条直线满足条件.综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D正确故选：CD10．已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（）A．曲线与椭圆有公共焦点B．曲线的离心率为，渐近线方程为．C．的最小值为1D．满足的直线有且仅有4条【解析】对于A：由知双曲线的焦点在轴上，由知椭圆的焦点在轴上，所以焦点不相同，故选项A不正确；对于B：由双曲线可得，，所以，所以双曲线的离心率为，渐进线方程为，即，故选项B正确；对于C：当，两点位于双曲线的异支时，直线的斜率为时最小，此时，两点分别为双曲线的左右顶点，此时，当，两点位于双曲线的同支时，直线的斜率不存在时最小，直线的方程为代入可得，所以，所以的最小值为1，故选项C正确；对于D：由选项C知，当，两点位于双曲线的异支时，，此时只有一条，当，两点位于双曲线的同支时，，根据对称性可知，此时存在两条直线使得，所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确；故选：BC.11．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（）A．双曲线C的离心率为 B．的面积为C．的内心在直线上 D．内切圆半径为【解析】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，则，所以，所以的内心在直线上，故C正确；△为等边三角形,若在同一支，由对称性知轴，，，.,；,设的内切圆半径为r，则，解得；若分别在左右两支，则，则，解得，离心率，，设的内切圆半径为r，则，解得；所以结论一定正确的是BC.故选：BC.12．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（）A． B．C．的离心率等于 D．的渐近线方程为【解析】，即为中点，为中点，，，，，，A错误，B正确；由知：，又，，，即，，解得：，C正确；，，，，的渐近线方程为，D正确.故选：BCD.三、填空题13．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.【解析】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．故答案为：．14．已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则___________.【解析】依题意，设，不妨设，，设，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得，，，，，，，，由于，所以，所以.故答案为：15．已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为______．【解析】由双曲线定义得又，解得：，，∵为以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴∴，解得：，∴，故双曲线标准方程为：．16．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为___________.【解析】设，由，得，由韦达定理得，所以，当时，有最小值，设到直线的距离分别为，，所以四边形的面积为四、解答题17．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．【解析】（1）因为，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为：；（2）不妨设焦点，则直线：由消去得：．设，，则，，所以．18．已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为，即，离心率，又，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.19．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若，求直线l的方程；（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值．【解析】（1）设直线方程为，，，由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则，，由点P在x轴上方，则∴直线l方程为（2）由方程可得，设，则，所以,所以要证为定值，只需证为定值，由（1）可知，，∴为定值．20．已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值.【解析】（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线的方程是，则，解得.所以双曲线的方程是.（2）由消去整理，得.由题意知解得且.设，，则，.因为与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以，所以，所以，则.所以，即，解得或，又，所以.21．直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．（1）求与满足的关系；（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．【解析】（1）设点A,B,联立消得,∴,由得代入化简可得和满足的关系为:;（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得代入可解得为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:,令(t≤3)化简可得,由t≤3可得当,t=3时.22．已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；（1）求曲线的方程；（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．【解析】（1）由e=知，曲线E是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线，且c=，，解得，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由消去整理得设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴，解得，∴实数的取值范围是．（3）由题意及（2）得6=||=|x1﹣x2|=•=，整理得28k4﹣55k2+25=0，解得或，又﹣，∴k=﹣，故直线AB的方程为．设C（x0，y0），由=m，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0），又=﹣4，y1+y2=k（x1+x2）﹣2=8，∴．∵点在曲线E上，∴，解得m=±4，当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m=4为所求．