专题01直线与椭圆的位置关系一、单选题1．已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（ ）A． B． C． D．【解析】设,则,点的轨迹是以，为焦点的椭圆.曲线的方程是：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得，，，，当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是.故选：2．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）A． B． C． D．【解析】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.故选：A.3．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）．A． B． C． D．【解析】联立椭圆方程与直线方程，得，，，，，，中点坐标：，中点与原点连线的斜率．故选：A4．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（）A．6 B．15 C．20 D．12【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，由消去y得：，设，由椭圆对称性，不妨令，焦点，△ABF的面积，当且仅当时取“=”，所以△ABF面积的最大值为12.故选：D5．已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（）A． B． C． D．【解析】设与直线平行的直线：，联立，消可得，，解得，所以所求直线为或，直线与直线的距离为.直线与直线的距离为.所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为，故选：C6．直线被椭圆截得最长的弦为（）A． B． C． D．【解析】联立直线和椭圆，可得，解得或，则弦长，令，则，当，即，取得最大值，故选：B7．已知F是椭圆的下焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由椭圆的方程可得，，所以，所以下焦点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立，整理可得：，可得：，，所以，设，则，因为，所以单调递增，所以，所以，故选：C.8．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.当的面积为时，则的值为（）.A． B． C． D．【解析】由知椭圆焦点在x轴上，故，，椭圆方程为，设，则B在直线上，，，联立，化简得，则，，则的面积为，解得，故选：C.二、多选题9．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（）A．的最小值为2 B．面积的最大值为C．直线的斜率为 D．为钝角【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，，，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，，的面积，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，设，则，，故直线的斜率，C正确；对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，①，②，①②得，易知，则，得，，，D错误.故选：BC.10．若直线l被圆所截得的弦长不小于，则在下列曲线中，与直线l一定会有公共点的曲线是（）A． B． C． D．【解析】设直线l的方程为，由题知，圆M的圆心到直线l的距离为，对于A，∵抛物线，开口向右，顶点在原点，∴取直线l为，易知直线与抛物线无交点，故A错误.对于B，满足到圆M的圆心距小于等于1的点的轨迹为单位圆围成的封闭区域，直线l一定过这个单位圆内的一点，椭圆的，，所以单位圆一定在椭圆内部，故直线l一定与椭圆相交，故B正确.对于C，双曲线的顶点坐标为，开口向左右两边，同样取直线l为，易知直线与双曲线无交点，故C错误.对于D，单位圆圆心到圆的圆心的距离为1，小于两圆半径差，故两圆呈内含关系，直线l一定过圆内一点，故直线l一定与圆相交.故D正确.故选：BD.11．已知P是椭圆上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为，，若的最小值为1，则下列结论正确的是（）A．椭圆E的方程为B．椭圆E的离心率为C．曲线经过E的一个焦点D．直线与E有两个公共点【解析】设，则，所以.于是，当且仅当时取等号，依题意，得，解得，故E的方程为，A正确；离心率为，B错误；焦点为，曲线经过焦点，C正确；直线过点，且点在E内，故直线与E有两个公共点，D正确.故选：ACD.12．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是A．四边形为平行四边形 B．C．直线的斜率为 D．【解析】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.故A正确.对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.对C,如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.对D,设则.又由C可知直线的斜率为,故.所以.故.故D错误.故选：ABC三、填空题13．当k变化时，直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是___________【解析】直线过定点，因为直线与椭圆总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即，且，解得且，故答案为：且14．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，因为AB的中点横坐标为2，所以，所以，则.15．已知，则的最值为_________.【解析】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.即，解得.椭圆上任意一点均满足.由，得的最大值为，最小值为.16．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．【解析】由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．当为椭圆的右顶点时，最小，此时，此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，同理可得的最大值为2，即的取值范围是．四、解答题17．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为（1）求椭圆的方程（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程【解析】（1）因为椭圆经过点，离心率为，所以，，因为，所以得，所以椭圆方程为，（2）设直线l为，设，由，得，由，得，由根与系数的关系得，因为所以，解得，所以直线的方程为或18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A､B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.【解析】（1）方法一：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，设椭圆的方程为：，因为椭圆过点，可得，又由及，解得，，所以椭圆的方程为.方法二：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，所以，得，所以，所以椭圆的方程为.（2）当直线与x轴重合时不满足题意；当直线与x轴不重合时，设直线方程为，由，消化简得，设，得，因为弦中点在直线，所以解得，所以直线的方程为或.19．设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．【解析】（1）设F(－c，0)，由，知．过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c＝1，所以椭圆的方程为．（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．由已知得，解得k＝．20．已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．（1）求椭圆的标准方程．（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上，则有，解得，，所以椭圆的标准方程为；（2）显然点为椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去y并整理得：，设，，则，，于是得，而，则线段的中点坐标为，因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点，当时，，，则，当时，线段的垂直平分线方程为，令，得，即，则有，于是得，当直线的斜率不存在时，，取或能满足，综上所述，存在实数满足题意.21．已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．（1）求的值；（2）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．【解析】（1）由椭圆的方程可得，，由题意可得，解得或．当时，点，都在直线的下方，不符合题意，故．（2）联立消去可得，设，，则，．直线与的斜率之和．因此直线与的斜率之和为定值．22．已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．【解析】（1）由圆的面积为，可得，即；又椭圆的右焦点为，故，联立方程组，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，联立方程组，整理得，解得，，所以，而圆心到直线的距离，，所以，当且仅当，即时取等号；当直线的斜率不存在时，，可得，当直线的斜率为0时，重合，与题意不符；综上，的最大面积为5．