2015年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ）A． B． C．0 D．﹣32．（5分）下列运算正确的是（ ）A．x2•x3＝x6B．（x3）2＝x5C．（xy2）3＝x3y6D．x6÷x3＝x23．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）劳动时间（小时）33.544.5人数1121A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75 C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.84．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD6．（5分）下列等式成立的是（ ）A．+＝B．＝C．＝D．＝﹣7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）A．20（1+2x）＝80B．2×20（1+x）＝80C．20（1+x2）＝80D．20（1+x）2＝808．（5分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）计算：＝ ．10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．12．（5分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为 ．13．（5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）14．（8分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．15．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．（10分）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．（1）写出点P2的坐标；（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．17．（10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．18．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）19．（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？20．（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α＝90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．六、解答题（本题满分15分）21．（15分）已知抛物线E1：y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．2015年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ）A． B． C．0 D．﹣3【考点】26：无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，选项正确；B、是分数，是有理数，选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是整数，是有理数，选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（5分）下列运算正确的是（ ）A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（xy2）3＝x3y6 D．x6÷x3＝x2【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）劳动时间（小时）33.544.5人数1121A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75 C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有5个人，∴第3个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4，平均数为：＝3.8．故选：C．【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱【解答】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．故选：B．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD【考点】LB：矩形的性质．【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OB，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．6．（5分）下列等式成立的是（ ）A．+＝ B．＝ C．＝ D．＝﹣【考点】6C：分式的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式＝，错误；B、原式不能约分，错误；C、原式＝＝，正确；D、原式＝＝﹣，错误，故选：C．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）A．20（1+2x）＝80 B．2×20（1+x）＝80 C．20（1+x2）＝80 D．20（1+x）2＝80【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】123：增长率问题．【分析】根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2＝第三年的销售额，列出方程即可．【解答】解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2＝80，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．8．（5分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考点】H3：二次函数的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【解答】解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，解得m＞0．故选：B．【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）计算：＝ 4 ．【考点】75：二次根式的乘除法．【专题】11：计算题．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 y＝（x＞0），答案不唯一 ．【考点】G4：反比例函数的性质．【专题】26：开放型．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝（x＞0），答案不唯一．故答案为：y＝（x＞0），答案不唯一．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有