2021年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（4分）到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×1073．（4分）以下说法错误的是（ ）A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是360° C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补4．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根5．（4分）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D．6．（4分）定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝7．（4分）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心 C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心8．（4分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）A． B． C． D．9．（4分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）A．① B．② C．③ D．④10．（4分）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）．12．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 ．14．（4分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 ，众数是 ．15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）16．（4分）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．等级频数（人数）频率优秀600.6良好a0.25合格10b基本合格50.05合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）补全条形统计图；（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：进货批次A型水杯（个）B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2021年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；故选：B．2．（4分）到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107【解答】解：9980万＝99800000＝9.98×107．故选：D．3．（4分）以下说法错误的是（ ）A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是360° C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意；C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；故选：A．4．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．故选：A．5．（4分）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，故选：B．6．（4分）定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【解答】解：根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+，4⊗2＝2×4+，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的根．故选：B．7．（4分）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心 C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；故选：C．8．（4分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2，解不等式﹣x＞﹣1，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，故选：C．9．（4分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；②“守株待兔”是随机事件，不合题意；③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；故选：A．10．（4分）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，设N（b，a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N，∴ab＝，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，∴四边形NGOH是矩形，∴NG∥x轴，NH∥y轴，∵N为CD的中点，∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝，∴CO＝，∴tan∠CDO＝＝．∴∠CDO＝30°，∴∠DCO＝60°,∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°,∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，BO⊥AC,∴AE＝BO＝2,∠BAE＝30°＝∠ABO,∴AM＝BM,∴OM＝EM,∵∠MBE＝30°,∴BM＝2EM＝2OM,∴3EM＝OB＝2,∴ME＝，故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）比较大小： ＞ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．【解答】解：∵1＜＜2，∴＜1，即＞，故答案为：＞．12．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．【解答】解：由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故答案为：x≥2且x≠3．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C