椭圆必会十大基本题型讲与练09椭圆与平面向量的交汇问题典例分析角度一、以共线向量为条件情景命题1、设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为，点满足．(1)求点的轨迹方程；(2)设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【答案】(1)；(2)证明略．【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：设，,，则：,．又,所以：，则：．又在椭圆C上，所以：。所以：．解法二：椭圆C的参数方程为：（为参数）．设，,，则：,．又,所以：，则：．则：．（Ⅱ）解法一：设，,,则，,，．又,所以：，即．那么．所以．即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点。解法二：设，,,则，,，．又,所以．又在上，所以：．又．所以：．即过垂直于的直线过椭圆的左焦点．【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。【点评】求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．2、已知椭圆的右焦点为，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点（点在轴的上方）（1）求椭圆的方程；（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆的右焦点为，得到，又经过点，得到，两式联立求解.（2）设，直线：，根据，得到，由联立，根据，得到m，t的关系，再由直线与圆相切，得到m，t的关系，两式联立求解.【详解】（1）因为椭圆的右焦点为，所以，又经过点，所以，解得，所以椭圆的方程是；（2）设，直线：，因为，所以，由，消去x得：，由韦达定理得，所以，即，整理得：①，因为直线与圆相切，所以即②，由①②得：，解得，所以，在中，.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于难题.3、已知椭圆,其左右顶点分别为,,上下顶点分别为,.圆是以线段为直径的圆.(1)求圆的方程;(2)若点,是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线,分别交轴于点､,求证:为定值;【答案】（1）=;（2）；（3）不存在点,使得，见解析【解析】【分析】(1)由题意得:,,即可求出圆的方程;(2)由题意可知:,,设,则,,求出直线的方程是,从而求出点坐标,同理求出点坐标,再利用点在椭圆上,坐标满足椭圆方程,即可化简出为定值;【详解】（1）由题意得:,,∴圆的圆心为原点,半径为,∴圆的方程是=;（2）由题意可知:,,设,则,,∴直线的方程是:,∴点,同理点,又∵点在椭圆上,∴，∴,角度二、以向量运算为情景命题1、已知是椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且.（1）若椭圆经过圆的圆心，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【分析】（1）设，由在椭圆上求出，再由椭圆过点得，从而可得，得椭圆方程；（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得，同时注意，由弦长公式表示出后可得的取值范围，由向量线性运算求出点坐标，交代入椭圆方程得出的关系，从而得的范围．【详解】（1）设，因为，则点关于轴的对称点.，，又由椭圆的方程得，所以，又椭圆过圆的圆心，所以，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：，，.，，，结合（*）得：.，.从而，.∵点在椭圆上，，整理得：即，，或.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得，并把这个结论代入题中其他条件中求解．2、已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）法一、设，，则有，两式相减，并由，得由题设知，，于是①，由题设，故法二：设直线，交点，则有，，联立方程，消去并整理可得所以所以，代入可得所以，所以，所以或①又即②，由①②可知法三：设，，则有③，④两式相减可得，所以依题意，，所以又点在椭圆内，所以，而，所以所以．（2）法一、由题意得，设，则由（1）及题设得，又点在上，所以，从而，于是，同理所以，故，即成等差数列设该数列的公差为，则②将代入①得，所以的方程为，代入的方程，并整理得故，，代入②解得，所以该数列的公差为或．法二、由椭圆的方程可知，，设因为，所以，所以所以，故，又因为点在椭圆上，所以，解得，所以，此时直线的方程为：即联立方程，消去并整理可得，所以，又，所以所以同理，所以，而所以，故，，成等差数列，设公差为，则有，所以3、在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由题意可知（+）• =0，即（，）• (，－2)=0．所以曲线C的方程式为．（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即．则点到的距离．又，所以当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．角度三、以向量为问题情景命题1、在直角坐标系xOy上取两个定点A1（，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.（1）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.【答案】（1）1（x≠±）；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设l：x＝ty+3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y1+y2且y1y2，根据题意得x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可证明结论．【详解】（1）解：依题意知直线A1N1的方程为：y（x）…①；直线A2N2的方程为：y（x）…②，设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2（x2﹣6），由mn＝2整理得：1∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，∴轨迹C的方程为1（x≠±）；（2）证明：设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，证明，只要证明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），只要证明，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴．2．如图，椭圆E：的左、右焦点分别为，，R是椭圆E上任意一点，的取值范围是，动直线l：与椭圆相交于A，B两点.（1）求椭圆E的标准方程：（2）若，B关于y轴的对称点是，证明：；（3）若，B关于y轴的对称点是，试探究：是否成立？说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案不唯一，详见解析【解析】（1）的取值范围是，故，解得，.故椭圆方程为：.（2）设，，则.联立方程，故，故.，，故，即.当斜率不存在时，易知成立.综上所述：.（3），，.故当时，，当时，不成立.方法点拨(1)遇到求椭圆标准方程问题，想到定义法或待定系数法，想到二元一次方程组的解法．(2)遇到向量数量积问题，想到向量的坐标表示，向量相等的条件，向量数量积的坐标运算公式．(3)遇到最值问题，想到构造函数求最值或运用基本不等式求最值，或将问题转化为其他相关知识求解，如本题就是将最值转化为一元二次不等式求解．巩固练习1、设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足QUOTENP=2NM．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且QUOTEOP⋅PQ=1．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【解析】（1）设，，则，，．由得，．因为在上，所以．因此点的轨迹方程为．（2）由题意知．设，，则，，，，，由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 2、设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．【解析】(Ⅰ)设F(－c,0)，由，知.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．由已知得＝8，解得k＝．3、设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.（2）不妨设，且，设，代入数据化简得到，故，得到答案.【详解】（1），所以，，化简得，所以，，所以方程为；（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，所以由，得，所以，由，得，代入，化简得：，由于，所以，同理可得，所以，所以当时，最小为【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4、设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．K^S*5U.C#（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．【解析】设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线l的方程为，其中.联立得解得，因为，所以.即，得离心率.（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为．5、已知椭圆的左顶点为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：，，得，则.所以椭圆.（2）当直线与轴重合时，不妨取，此时；当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，联立得，显然，，.所以.当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又，所以的面积.【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.（1）由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程.（2）设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积.6、已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E方程；(2)证明：直线CD过定点．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，，，，，，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为．同理可得