椭圆必会十大基本题型讲与练07以椭圆为情景的定点问题典例分析类型一、线过定点问题1、已知A,B分别为椭圆E:eq\f(x2,a2)+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【答案】eq\f(x2,9)+y2=1;【分析(2)】看问题:证明:直线CD过定点(属于线过定点问题)想方法:圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.看条件:P为直线x=6上的动点,A,B分别为椭圆E:eq\f(x2,9)+y2=1的左、右顶点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D(点在椭圆上,一是想定义二是想坐标,都可得到等量关系)。定措施:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).则直线PA的方程为y=eq\f(t,9)(x+3),所以y1=eq\f(t,9)(x1+3),同理y2=eq\f(t,3)(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).又eq\f(x\o\al(2,2),9)+yeq\o\al(2,2)=1,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),由此得到n的值,从而可证直线CD过定点。【解析】(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则eq\o(AG,\s\up7(―→))=(a,1),eq\o(GB,\s\up7(―→))=(a,-1).由eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))=8,得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为eq\f(x2,9)+y2=1.(2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.由于直线PA的方程为y=eq\f(t,9)(x+3),所以y1=eq\f(t,9)(x1+3).直线PB的方程为y=eq\f(t,3)(x-3),所以y2=eq\f(t,3)(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于eq\f(x\o\al(2,2),9)+yeq\o\al(2,2)=1,故yeq\o\al(2,2)=-eq\f(x2+3x2-3,9),可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.①将x=my+n代入eq\f(x2,9)+y2=1,得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-eq\f(2mn,m2+9),y1y2=eq\f(n2-9,m2+9).代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2·(m2+9)=0.解得n=eq\f(3,2)或n=-3(舍去).故直线CD的方程为x=my+eq\f(3,2),即直线CD过定点若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点综上,直线CD过定点类型二、圆过定点问题1、已知点QUOTE
高考数学专题07以椭圆为情景的定点问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 (解析
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