五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式12S=absinC222c①2⇒a+b=2abcosC+c≥2ab⇒ab≤a2+b2−c2=2abcosC21−cosC12S=acsinB222b②2⇒a+c=2accosB+b≥2ac⇒ac≤a2+c2−b2=2accosB21−cosB12S=bcsinA222a③2⇒b+c=2bccosA+a≥2bc⇒bc≤b2+c2−a2=2bccosA21−cosA秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x2AB+BC则：S=max⋅sinBΔABCmax822x其中AB+BC=2R⋅m+n+2mncosθm,n分别是BA、BC的系数2R=maxsinθ面积最值问题专项练习2221△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2acosC-b，c+a=b+3ac，b=2.(1)求A；π(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=，求△AMN面积的取值范围.312已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3csinB=a-bcosC.(1)求B；(2)若DC=AD，BD=2，求△ABC的面积的最大值.3在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=2b-csinB+c2sinC-sinB．(1)求A；(2)点D在边BC上，且BD=3DC，AD=4，求△ABC面积的最大值．2224△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c=2acosC-b，c+a=b+3ac，b=2．(1)求A；π(2)若M是直线BC外一点，∠BMC=，求△BMC面积的最大值．325在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB)，D为BC边上一点，AD平分∠BAC,AD=2．(1)求角A；(2)求△ABC面积的最小值．π6在①m=2a-c,b，n=cosC,cosB，m⎳n；②bsinA=acosB-；③a+ba-b=6a-cc三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B；(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度3最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD为CA在CB方向上的投影向量，且满足2csinB=5CD.(1)求cosC的值；(2)若b=3，a=3ccosB，求△ABC的周长.8如图，在梯形ABCD中，AB⎳CD，∠D=60°．(1)若AC=3，求△ACD周长的最大值；(2)若CD=2AB，∠BCD=75°，求tan∠DAC的值．439已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=4(a2+c2-b2)．(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．sinA-sinBsinC10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=．3a-ca+b(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+bb-a=0．(1)求C；3(2)若c=3，△ABC的面积是，求△ABC的周长．25类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cosB求AD22AB+AC22=AD+CD2②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.7(1)若sinB=，求cosC的值；8(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.613在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1．(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值；(2)求AC边上的中线长．14在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3bsinA=acosB+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，△ABC的面积为203，求BC边上中线AD的长.15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sinB，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cosC及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．72π16在△ABC中，∠A=，AC=23，点D在AB上，CD=32.3(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.B+C117在①3b=asinC+3cosC；②asinC=csin；③acosC+c=b，这三个条件中任选一22个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=βsinα+βsinαsinβ则一定有=+lbc8三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sinB-sinCb=a-csinA+sinC．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．3319在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB+bcosA+B=b.33(1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.20已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足bcosC+ccosBsinB+3bcosA=0.(1)求A；(2)若c=2，a=23，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.921已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cosAccosB+bcosC+asinA=0．(1)求A；(2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度．2322222在①bsinB+csinC=bsinC+asinA；②cosC+sinBsinC=sinB+cosA；③2b=32acosC+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值10三角形涉及长度最值问题专项练习322223设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为c-a-b．4(1)求C；AD(2)延长BC至D,使BD=3BC，若b=2，求的最小值．AB22124在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a-b=accosB-bc2(1)求A；(2)若a=6，2BD=DC，求线段AD长的最大值.π25锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosAsinB+.3(1)求A；(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.1126在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，asinB+C=b-csinB+csinC.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.3227记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为b．12πsinB(1)若A=，求；6sinCa2+c2(2)求的最大值．ac12