五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式12S=absinC222c①2⇒a+b=2abcosC+c≥2ab⇒ab≤a2+b2−c2=2abcosC21−cosC12S=acsinB222b②2⇒a+c=2accosB+b≥2ac⇒ac≤a2+c2−b2=2accosB21−cosB12S=bcsinA222a③2⇒b+c=2bccosA+a≥2bc⇒bc≤b2+c2−a2=2bccosA21−cosA秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x2AB+BC则：S=max⋅sinBΔABCmax822x其中AB+BC=2R⋅m+n+2mncosθm,n分别是BA、BC的系数2R=maxsinθ面积最值问题专项练习2221△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2acosC-b，c+a=b+3ac，b=2.(1)求A；π(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=，求△AMN面积的取值范围.32π【答案】(1)333(2),32【详解】(1)由c=2acosC-b得2acosC=c+2b，由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sinA+C=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC，所以2cosAsinC+sinC=0，又因为C∈0，π，所以sinC≠0，12π所以cosA=-，又A∈0，π，所以A=，23222222222c+a-b3(2)由c+a=b+3ac，得c+a-b=3ac，由余弦定理知cosB==，又因为B∈0，π，2ac21π所以B=，6π所以C=π-A-B=，所以b=c=2，如图，设∠BAM=α,6π5ππ则∠CAN=-α,∠BMA=-α,∠CNA=+α，362πcsinB2sin61在△ABM中，由正弦定理可知AM===，sin∠BMA5ππsin6-αsin6+απbsinC2sin61在△ANC中，由正弦定理可知AN===，sin∠CNAπcosαsin2+α1111π3故S=AM⋅AN⋅sin∠MAN=⋅⋅⋅sin=△AMN22πcosα3πsinα+64sinα+6cosα3333，==2==23sinα+cosαcosα23sinαcosα+2cosα3sin2α+cos2α+1π2sin2α+6+1πππ5π1π因为α∈0，，所以<2α+<，所以0，所以cosB=，2π因为B∈(0,π)，所以B=.3π选②：因为bsinA=acosB-，631由正弦定理得sinBsinA=sinA⋅cosB+sinB，2231又因为A∈(0,π)，可得sinA>0，则sinB=cosB+sinB，2213即sinB=cosB，可得tanB=3，22π因为B∈(0,π)，所以B=.3222选③：因为a+ba-b=a-cc，可得a+c-b=ac，a2+c2-b2ac1由余弦定理得cosB===，2ac2ac25π又因为B∈(0,π)，所以B=.3π(2)解：因为B=，且b=2，322222π由余弦定理知b=a+c-2accosB，即4=a+c-2accos，3可得a2+c2-ac=4，又由a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立，所以ac≤4，11π所以△ABC的面积S=acsinB≤×4×sin=3，△ABC223即△ABC的面积的最大值为3.类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l=a+b+c第二步：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD为CA在CB方向上的投影向量，且满足2csinB=5CD.(1)求cosC的值；(2)若b=3，a=3ccosB，求△ABC的周长.2【答案】(1)3(2)2+23【详解】(1)由CD为CA在CB方向上的投影向量，则CD=bcosC，即2csinB=5bcosC，根据正弦定理，2sinCsinB=5sinBcosC，π在锐角△ABC中，B∈0,，则sinB>0，即2sinC=5cosC，2π222522由C∈0,，则cosC+sinC=1，整理可得cosC+cosC=1，解得cosC=.243(2)由a=3ccosB，根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB，6在△ABC中，A+B+C=π，则sinB+C=3sinCcosB，sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，sinBcosC=2sinCcosB，225由(1)可知cosC=，sinC=1-cosC=，则sinB=5cosB，332222630由sinB+cosB=1，则5cosB+cosB=1，解得cosB=，sinB=，66bcsinC6根据正弦定理，可得=，则c=b=2，a=c=3，sinBsinCsinB2故△ABC的周长C△ABC=a+b+c=23+2.8如图，在梯形ABCD中，AB⎳CD，∠D=60°．(1)若AC=3，求△ACD周长的最大值；(2)若CD=2AB，∠BCD=75°，求tan∠DAC的值．【答案】(1)9(2)3+3．【详解】(1)在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD⋅DCcosD=AD