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妙解高考数学填选压轴题专题24 利用向量的形解题-妙解高考数学填选压轴题
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专题24利用向量的形解题【方法点拨】向量兼具“形”与“数”的双重属性,在解题中适时构造“形”,可以起到事倍功半的作用,可提高解题的迅捷度.【典型题示例】例1在中,点满足,且对任意,恒成立,则______.【答案】【分析】设,则点P在过点B且平行于AC的直线上,而恒成立的几何意义是:过点B且平行于AC的直线上的任意一点与点A的距离以最小,根据平面几何知识知,必有,即,进而可得、的值,结合余弦定理计算可得.【解析】根据题意,在中,点满足.设,则.∵∴对任意,恒成立,必有,即.∵∴,∴.∴故.例2若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______.【答案】【分析】注意到条件,构造如图所示等腰直角三角形,为底边上的中线.设,,则.在,.所以夹角的余弦值为.OCAB 例3已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是.【答案】【解法一】展开得则的最大值是.【解法二】注意到题目中两个垂直,及,利用数形结合,如图,对应的点在圆上即可.例4设向量都是单位向量,,则的最小值是.【答案】【解析】如下图,设,,,则在圆上,且,取中点为,则由极化恒等式得易知,所以.例5已知向量,的夹角为135o,且,,设(其中),当取最小值时,向量与的夹角大小为.【答案】π2【解析】如上图,,,则满足条件的点C的轨迹是过且平行于的直线由平几知识知,当取最小值时,,即此时,向量与的夹角大小为π2.【巩固训练】1.已知向量,,,则_______.2.已知在△OAB中,OA=,OB=2,∠AOB=135°,P为平面OAB上一点,且(),当OP最小时,向量与的夹角为.3.已知在△ABC中,AB=5,AC=10,,点P为△ABC内(包含边界)一点,且(),则的最小值为.4.已知向量,,满足,,则的最小值为________.5.已知平面向量α,β (α≠ 0,α≠β )满足|β |=1,且α与β- α的夹角为120°,则|a| 的取值范围是.6.已知,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是___________.7.已知向量,,满足,,则的取值范围为.8.已知向量,满足,,设(其中),若最小值为,向量与的夹角大小为.9.(1)已知,若对任意,,则为_______三角形.(在锐角、直角、钝角中选择一个填写)(2)已知,若对任意,,则为______三角形(在锐角、直角、钝角中选择一个填写)(3)已知,若对任意,,则为______三角形(在锐角、直角、钝角中选择一个填写)10.已知向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)·(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是.11.已知a,b都是非零向量,满足|a-b|=|a|,(a-b)·a=0,则a-b与b的夹角大小是().A.45oB.60oC.135oD.120o12.已知向量,,且对任意,恒成立,则()A. B.C. D.【答案或提示】1.【答案】【解析】仿例2,构造三角形,易知,而使用投影易得,故.2.【答案】π2【提示】解法同例5.3.【答案】3【提示】如图,AD=3,PD∥AC,易知的最小值为3.4.【答案】【提示】解法同例2.5.【答案】【解析】设,,由余弦定理可知:,要求的取值范围,则将方程视为以为主元的一元二次方程,由判别式可得.6.【答案】【提示】解法同例4.7.【答案】【提示】解法同例4.8.【答案】π6或5π6【提示】解法同例5.9.【答案】(1)直角(2)直角(3)钝角10.【答案】[eq\r(7)-1,eq\r(7)+1].【解析】如图,设c=(1,0),设A,B是以O为圆心,2为半径的圆上两点,且AC⊥BC,则|a-b|=AB=2MC.∵MO2+MA2=OA2,而MA=MC,∴MO2+MC2=4.设M(x,y),则x2+y2+(x-1)2+y2=4,即x2+y2-x=eq\f(3,2).(*),|a-b|=AB=2MC=2eq\r((x-1)2+y2)=2eq\r(x2+y2-2x+1)=2eq\r(\f(3,2)+x-2x+1)=eq\r(10-4x).由(*)知,eq\f(1-\r(7),2)≤x≤eq\f(1+\r(7),2),∴eq\r(8-2\r(7))≤eq\r(10-4x)≤eq\r(8+2\r(7)),即eq\r(7)-1≤eq\r(10-4x)≤eq\r(7)+1.∴eq\r(7-1)≤|a-b|≤eq\r(7)+1.即|a-b|的取值范围为[eq\r(7)-1,eq\r(7)+1].11.【答案】C12.【答案】C【分析】由已知两边平方得,可判断A;再由得,结合可判断B;由可判断C;由可判断D.【解析】由得,即对任意恒成立,所以,,所以,所以A错误;由得,由,所以B错误;由,得,所以C正确;由,所以D错误.故选:C.

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