专题32关于指对的两个重要不等式【方法点拨】1．重要不等式：(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．2．树立一个转化的意识，即“等”与“不等”间的互化，运用“两边夹逼”的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.【典型题示例】例1（2022·江苏扬州中学·下学期开学检测）已知实数a，b，c满足eEQ\S\UP6(a＋c)＋eEQ\S\UP6(4b－c－1)≤a＋4b＋1(其中e为自然对数的底数)，则a2＋b2的最小值是．【答案】【解析】根据常见不等式（当且仅当，等号成立）所以（当且仅当，等号成立）（当且仅当，等号成立）所以又因为所以（当且仅当，时成立）所以.例2已知，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，从而得到，由，从而得到和，即可得到答案.【解析】设，，令，解得.，，为减函数，，，为增函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.故，即.设，，令，解得.，，为增函数，，，为减函数.所以，即，当且仅当时取等号.所以.所以，又因为，所以.又因为，所以，即，综上.故选：B.例3若实数满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.【解析一】∵∴易知，当且仅当x=1时，“=”成立∴，当且仅当，时，“=”成立根据不等式性质有所以此时必有，（下略）.【解析二】∵∴令，利用导数知识易求得，所以，即故，此时，（下略）.例4已知都是正数，，，则的最大值是．【答案】【分析】由，换元令，则，考虑“形”，恒成立，夹逼得，同理处置，最后使用基本不等式求解.【解析】，令，则事实上（当且仅当时，“=”成立），故；，令，则事实上（当且仅当时，“=”成立），故；所以，（当且仅当，时，“=”成立）故的最大值是．【巩固训练】1.已知正实数满足，则．2.己知实数a，b，c满足ea+c+e2b−c−1≤a+2b+1（e为自然对数的底数），则a2+b2的最小值是.3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是．4.己知实数a，b满足2lna−e2b≥a2−2b−2（e为自然对数的底数），则a+2b=.5.实数，满足且，则的取值为__________.6.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.7.（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象上都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则（）A. B.C.m的值可能是 D.m的值不可能是【答案或提示】1.【答案】【解析】当且仅当，，即，时，“=”成立，此时．2.【答案】【分析】将已知变形为ea+c+e2b−c−1≤[(a+c）+1]+[2b−c−1+1]，联系重要不等式ex≥x+1，夹逼得.【解析】∵∴，所以又∵∴当且仅当时成立∴，所以.3.【答案】【提示】由，得，所以.4.【答案】1【提示】由，得,而故，此时，，所以.5.【答案】【分析】不等式变形为，引入新函数后，由导数确定函数的单调性与极值，从而确定结论．【解析】原不等式可化为，令，，则，令，则，时，，递减，时，，递增，所以，对有，所以恒成立，因此，由得，且．，．故答案为：．6.【答案】【解析】因为，当且仅当时，“=”成立所以不等式恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.7.【答案】ACD【分析】先根据对称中心求解出的值，再根据求解出的值，由此可求的解析式；根据不等式恒成立，通过分离参数得到，借助不等式得到，由此求解出的范围并判断.【解析】由题意可得，因为，所以，所以，解得，故.因为，所以等价于.设，则，从而在上单调递增.因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，故.故选：ACD