专题15利用结构相同函数解题【方法点拨】1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.2.同构的基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”.【典型题示例】例1（2022·江苏苏大考前指导卷）已知，且成立，则（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用构造函数法，结合导数求得正确答案.【解析】依题意，，，构造函数，所以在区间递减；在区间递增.若，则，，不符合题意.若，则，，符合题意，若，此时对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.综上所述，.故选：C例2（2022·全国高中数学联赛江苏苏州选拔赛·7）若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为___________.【答案】【分析】关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，则，即，分三种情况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案.【解析】关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，因为函数为增函数，所以，所以，当时，无意义，故；当时，则，则，令，则，所以函数在上递减，当时，，所以，与矛盾，所以舍去，当时，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以，综上所述，，所以实数a的最大值为.故答案为：.点评：利用同构得出后，由函数图象则易得，故实数a的最大值为.例3（2022·江苏南通一模）已知均为锐角，且，则A． B．C． D．【答案】D【解析】，，令，，，在，，，，选D.例4（2021·江苏新高考适应性考试·8）已知且，且，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析一】往结构相同方向变形，将已知变形为，，，设函数，则所以在上单减，在上单增所以，，所以.【解析二】将已知两边取对数：，，，再往结构相同方向变形：，，设函数，则所以在上单减，在上单增所以，，所以.例5已知实数a，b满足，，则a＋3b＝．【答案】16【解析】令，则，代入可化为，即设，则，在上单增故只有一个零点所以，即，所以.例6已知函数，，则t的取值范围是．【答案】【分析】这里可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可.【解析】∵∴可变形为：∵是奇函数∴∴令，则∴单增∴，即，解之得所以t的取值范围是．例7已知实数，满足，，则______.【答案】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.【解析一】实数，满足，，，，则，，所以在单调递增，而，.【解析二】对两边取自然对数得：，对两边取自然对数得：（※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：设，则所以在单调递增，的解只有一个.∴，∴点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.【巩固训练】1.若，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A． B． C． D．3.(多选题)已知对任意，恒成立，则 A． B． C． D．4.如果，，则的取值范围是_______.5.不等式的解集是______________.6.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为．7.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．8.设方程的根为，方程的根为，则=.9.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是.10.不等式的解集是.11.若满足2x+=5，满足2x+2(x－1)=5，+＝()A.B.3C.D.412.已知实数a，b(，)，且满足，则a，b，的大小关系是．13.已知关于的方程在区间，上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为____________.14.已知且，，其中e是自然对数的底数，则A.B.C.D.15.已知，的根分别为，，则下列关于的式子中等于的是()B.C.D.16.若方程，的根分别为，，则______.17.（2022·南京零模复习卷·8）已知，，且，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．18．（2022·江苏金陵中学·网课质检卷·7）已知，则与的大小关系是A．B．C． D．不确定19.（2022·江苏南京零模·8）已知且，其中e是自然对数的底数，则A.B.C.D.【答案与提示】1.【答案】B【解析】∵∴，故设，则为增函数，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选B.2.【答案】A【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.【解析】由移项变形为设易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以从而，故选A．3.【答案】BD可变形为设（），则，是奇函数且在单减所以，故，排除A．对于B，由权方和不等式有，故B正确．对于C，当时，，不成立.对于D，，所以，故D正确．4.【答案】【提示】变形为.5.【解析】原不等式可化为：构造函数，则，在上单增所以，解之得所以原不等式解集是.6.【答案】【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.【解析】看到想“对称结构”，将它变形为：，设，易知当时，，故在单减，所以，解之得：所以的取值范围．7.【答案】2【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.【解析】由，化简为：，即，设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.8.【答案】49.【答案】2【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2.因为f(x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f(x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f(x0))，其中f″(x0)＝0.10.【答案】【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：，构造函数，题目转化为求解的问题.因为，易知恒成立，故为上的单调增函数，所以由立得：，解之得.11.【答案】C12.【答案】【提示】构造函数，单增.13.【答案】【解析】因为方程，所以变形为，令，则有，因为在上单调递增，所以即为，故当时，有两个不相等的实数根，在中，则有，即，解得，所以实数的取值范围为．14.【答案】A【解析】设，则，又，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递减，所以.15.【答案】C16.【答案】4【提示】对于方程两边同时除以9得，即①，即②②为同一方程，故，代入得，故.17.【答案】B【解析】考察函数，易得∴在单增∵且，∴，故，B正确.18.【答案】C【分析】所求即判断、的大小，应考察函数的单调性及、的大小.【解析】由已知得，，在同一坐标系内作出函数、及图象，由图象不难得出考察函数，∴在单增∴，故，C正确.19.【答案】A【解析】设，则，又，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以在上单调递减，所以.