专题8古典概型例1．从3，5，7，9中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是 A． B． C． D．【解析】解：根据题意，从3，5，7，9中任取2个不同的数，有，，，，，，共6种取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于3的情况有，，，共有3种，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率，故选：．例2．2020年在新冠疫情基本控制的情况下，学生开始陆续复学，为了广大师生的安全，学校防控仍是重中之重，除了全员要戴口罩，勤洗手，多通风外，为了避免聚集交叉，学校采取“网格化”管理，为了规范各个网格单元的管理，需要大量“网格员”．已知甲、乙两人需要周一至周五作为网格员，两人商议一个人值周一、周三、周五；另一人值周二、周四．但两人都不想多值一天，约定如下规则来决定：拿一枚一元的硬币，甲选正面，乙选反面，每掷一次硬币为一局比赛，先胜三局的人值周二、周四两天．但由于生产工艺的问题，此硬币不均匀，出现正面的概率为，问甲值两天的概率为 A． B． C． D．【解析】解：根据题意，若最后甲值两天，则最后一局一定为甲胜，若比赛3局，则甲需连胜3局，若比赛4局，甲前3局胜2局输1局，若比赛5局，则前4局甲胜2局输2局，综上，甲值两天的概率为：．故选：．例3．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：偏瘦正常肥胖女生（人100163男生（人150187若，，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为 A． B． C． D．【解析】解：由题意知，，，则满足条件的有14组，分别为：，，，，，，，，，，，，，，设事件表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即，则事件包含的基本事件有7组，分别为：，，，，，，，肥胖学生中男生不少于女生的概率为（A）．故选：．例4．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）（物理、历史）选（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是 A． B． C． D．【解析】解：在2（物理，历史）选（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择全理科的有1种，某考生选择全理科的概率是．故选：．例5．雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为 A． B． C． D．【解析】解：某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，基本事件总数（种，三人参加项目均不相同的基本事件数为（种，三人参加项目均不相同的概率为：．故选：．例6．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数．若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有1个偶数的概率为 A． B． C． D．【解析】解：从这10个数中任取2个数，基本事件总数，取出的2个数中至少有1个是偶数包含的基本事件个数，取出的2个数中至少有1个是偶数的概率：．故选：．例7．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，将这五种不同属性的物质任意排成一列，则排列中金、木、火不能相邻的概率为 A． B． C． D．【解析】解：由题意五种不同属性的物质任意排成一列，共有种排法，排列中金、木、火不能相邻的排法共有种排法，故所求事件的概率为：．故选：．例8．如图，在一个圆上取，，，，，个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3个点，则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为 A． B． C． D．【解析】解：从，，，，，个点中随机选取3个点，共有种可能，若这3个点构成锐角三角形，则这3个点不相邻，共有2种可能，则构成的三角形是锐角三角形的概率为，所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为．故选：．例9．2019年8月1日，中国科学院正式公布中国科学院院士增选初步候选人名单，总计181位．整体来看，中国科学院（包含其在全国各地的研究所）、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学候选人人数位列前五．若从上述5所大学中任选2所大学进行问卷调查，则中国科学院被选中的概率为 A． B． C． D．【解析】解：将中国科学院、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学依次记为1，2，3，4，5，则从5所大学中任选2所，不同的选法有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种，其中中国科学院被选中的选法有：，，，，，，，，共4种，中国科学院被选中的概率为：．故选：．例10．传说是三国时期的蜀国丞相诸葛亮（字孔明）发明了一种可以升空的灯笼，后人称之为孔明灯，用作军事信号灯，借此在夜里调兵遣将．在一次游戏中，，，，，位小朋友同时分别升起了1盏孔明灯，若任意两盏孔明灯不同时熄灭，那么先熄灭的两盏孔明灯是，，三位小朋友的孔明灯的概率为 A． B． C． D．【解析】解：选熄灭的两盏孔明灯的情况有10种，分别为：，，，，，，，，，，共10种，满足题意的有3种，分别为：，，，先熄灭的两盏孔明灯是，，三位小朋友的孔明灯的概率为．故选：．例11．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为 A． B． C． D．【解析】解：由题意得排队基本事件总数，满足“丙”必须排在前两位，“甲乙”必须分开所包含的基本事件个数：丙排在第一位，有（种排法，丙排在第二位，有（种排法，满足条件的事件总数（种，满足甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率：．故选：．例12．2013年5月，中国数学家张益唐破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形势，孪生素数猜想：对所有的自然数，存在无穷多个素数对，的情况就是孪生素数猜想．例如3和5，5和7，11和13，都是孪生素数，在所有小于20的自然数中随机取两个数，则取到的两个数是孪生素数的概率是 A． B． C． D．【解析】解：从小于20的自然数中随机抽取两个数，共有（种情况，2个数是孪生素数的情况有：，，，，共4种，取到的两个数是孪生素数的概率为：．故选：．例13．从集合，，2，中随机选取一个数记为，从集合，1，中随机选取一个数记为，则 A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第三象限的概率是 D．的概率是【解析】解：由题意可得所有可能的取法有12种，，，，，，，，，，，，．其中满足的取法有，，，，，，共6种，则的概率，故正确；其中满足的取法有，，，，，，，共7种，则的概率，故错误；因为直线不经过第三象限，所以，，所有满足直线不经过第三象限的取法有，，，，共4种，则直线不经过第三象限的概率，故正确；因为，所以，，，所有满足的取法有，，，共3种，故的概率，故错误．故选：．例14．若，为互斥事件，（A），（B）分别表示事件，发生的概率，则下列说法正确的是 A．（A）（B） B．（A）（B） C． D．【解析】解：，为互斥事件，（A），（B）分别表示事件，发生的概率，（A）（B），，故错误，正确，错误，正确．故选：．例15．先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列说法正确的是 A．时概率为 B．时概率为 C．时的概率为 D．是3的倍数的概率是【解析】解：先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，基本事件总数，对于，包含的基本事件有：，，，，，，共6个，时概率为：，故正确；对于，包含的基本事件有：，，，，，共5个，时概率为：，故错误；对于，包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9个，时的概率为：，故错误；对于，是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共12个，是3的倍数的概率是：，故正确．故选：．例16．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 A．取出的最大号码服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为【解析】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确．故选：．例17．高三（1）班甲、乙两同学报名参加，，三所高校的自主招生考试，因为三所高校考试时间相同，所以甲、乙只能随机报考其中一所高校，则甲、乙两人报考不同高校的概率是 ．【解析】解：记“甲、乙两人报考不同高校”为事件，甲、乙两人报考学校总的基本事件有9个，分别为：，，，，，，，，，事件包含的基本事件有6个，分别为：，，，，，，甲、乙两人报考不同高校的概率是．故答案为：．例18．设为坐标原点，从集合，2，3，4，5，6，7，8，中任取两个不同的元素、，组成、两点的坐标、，则的概率为 ．【解析】解：，，2，3，4，5，6，7，8，且，数对共有个．，，，又连接原点和，两点，得，，则，即，即，或，满足的数对有：，，，，，，，，共8个，的概率．故答案为：．例19．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率是 （结果用分数表示）．【解析】解：小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，基本事件总数，这2本书属于不同学科包含的基本事件个数，则这2本书属于不同学科的概率是．故答案为：．例20．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）【解析】解：盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从随机任意取出两个，基本事件总数，这两个球的编号之积为偶数包含的基本事件个数：，则这两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为：．例21．一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 ．【解析】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有种取法，满足三种颜色的球均取到的取法有种，三种颜色的球均取到的概率为，故答案为：．例22．某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛．（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1名女生的概率．【解析】解：（1）把该校环境保护兴趣协会的20名成员进行编号，号码分别为：01，02，03，04，05，06，07，08，09，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，个号码搅拌均匀，从中依次取出6个号码，从而取出参赛队伍成员．（2）选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，基本事件总数，所选两人恰好有1名女生包含的基本事件个数，所选两人恰好有1名女生的概率．日期：2021/1/1121:12:51；