专题28硬币问题例1．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.【解析】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以，即．恰好得到分的概率是．例2．棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.【解析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，，，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.例3．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，（ⅰ）证明是等差数列；（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？【解析】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.（2）由题可得，，，；（3）由（2）知，，，，∴，则，∴是公差为1的等差数列：，其中，∴，，于是，，，，对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.例4．某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【解析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，；（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：由第站跳站得到，其概率为；可以由第站跳站得到，其概率为.所以，.同时减去得；（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.例5．甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢(常数)次就获胜，而乙要再赢(常数)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行次抛币，游戏结束.（1）若，，求概率；（2）若，求概率的最大值(用表示).【解析】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，.（2）依题意，.设则.而(*).(#)因为的判别式(显然在时恒成立)，所以.又因为，所以(#)恒成立，从而(*)成立.所以，即(当且仅当时，取“=”)，所以的最大值为，即的最大值为.例6．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元，求的分布列与数学期望；（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从到），若掷出反面，机器人向前移动两格（从到），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.【解析】（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为.（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，由题意，或；.故的分布列为：4700039000所以数学期望.（3）机器人在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：①先到第格，又出现反面，其概率，②先到第格，又出现正面，其概率.所以，故所以时，数列为首项，公比为的等比数列.所以，，，，，以上各式累加，得，所以所以获胜概率，失败概率，所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品.例7．时至21世纪.环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式——全概率公式.其特殊情况如下：如果事件相互对立并且，则对任一事件B有.设表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.①用表示；②王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由.【解析】解：（1）设一把抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，则，，.由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；；；或，所以随机变量X的分布列为X123P（2）①设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知，即.②由①知，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开小车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开小车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.例8．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为．（1）求随机变量的分布列；（2）若随机变量，求随机变量均值、方差．【解析】随机变量的取值可以为0，1，2．；；；．因此，随机变量的分布列为：012（2）由（1）知．．∴，∴.例9．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）设抛掷4次的得分为，求变量的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为时，游戏停止，记得分的概率和为.①求；②当时，记，证明：数列为常数列，数列为等比数列.【解析】（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率也为，则，.所以变量的分布列为：45678故变量的数学期望为.（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为.②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，故且时，有，则时，，所以，故数列为常数列；又，，所以数列为等比数列.例10．某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制.已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为.（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记X为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】（1）若甲获得发球权，则获胜的概率为，如果甲没有发球权，则获胜的概率为，所以甲获胜的概率为.（2）比赛结束时甲的总得分的可能取值为0，3，6，9.时，比赛的结果为：“乙乙乙”，∴时，比赛的结果为：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，“乙乙甲乙”，∴，时，比赛的结果为：“甲甲乙乙乙”，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙”，“乙甲甲乙乙”，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”，∴.，∴.X的分布列为X0369P.例11．有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为.（1）一轮游戏后，求的概率；（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求的最小值.【解析】抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为，（1）由游戏规则可知：且每次抛币得分为1分的概率均为，则，则；（2）记分别表示甲乙第次抛币的得分，由题意，甲