专题19概率最值问题例1．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立．①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点；②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望．【解析】（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A则答：该盒芯片可出厂的概率为．(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率当且仅当，即时取“”号故的最大值点．②由题设知，设这箱芯片不合格品个数为则故则这箱芯片最终利润的期望是72元．例2．绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：150.30.7（元，则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为，则是随机变量，其分布列为：50.80.2（元，则5000个游客的平均利润为（元，该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：，当时，有最大值3.45元，当定价为13元时，日平均利润取最大值为元．例3．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．【解析】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为．有3个坑需要补种的概率为：，要使最大，只须，解得，，故，6，7．，所以当为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为．（2）时，要补播种的坑的个数的所有的取值分别为0，1，2，3，4，，，，，，．所以随机变量的分布列为：01234所以的数学期望．例4．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【解析】解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，．故的分布列为：01230.0020.0440.3060.648．（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为，一尾乙种鱼苗的平均收益为元．设购买尾乙种鱼苗，为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则，解得．所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．例5．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123的数学期望.（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，，由，解得，又，所以当时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.例6．已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量和.根据市场分析，和的分布列如下.5%10%0.80.22%8%12%0.20.50.3（1）在A，B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求和；（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和.求的最小值，并指出为何值时，取到最小值.【解析】（1）（2）,当时，取最小值3.例7．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表气温范围天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？【解析】解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，，，于是的分布列为：2000350050000.20.40.4的数学期望为：．（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑，当时，若气温不低于30度，则；若气温位于[25,30)，则；若气温低于25度，则；此时当时，若气温不低于25度，则；若气温低于25度，则；此时；所以时，的数学期望达到最大值，最大值为11900．例8．长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于，需求量为600桶；如果最高气温（单位：）位于区间，需求量为400桶；如果最高气温低于，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温（）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列；（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量（单位：桶）为多少时，的均值取得最大值？【解析】（1）由已知得，的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件，最高气温位于区间，为事件，最高气温不低于25为事件，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知，故六月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列为：200400600（2）结合题意得当时，，当时，，当时，，当时，，所以当时，的数学期望取得最大值640．例9．某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0.4中0.4差0.2设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．（I）分别求利润与产量的函数关系式；（II）当产量确定时，求期望；（III）试问产量取何值时，取得最大值．【解析】解:由题意可得L1=(q＞0).同理可得(q＞0)(q＞0) 4分(Ⅱ)解:由期望定义可知(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设(q＞0)得0解得(舍去).当0＜q＜10时,＞0;当q＞10时,＜0可知,当q=10时,f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.例10．将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.（1）求；（2）当时，求的表达式；（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.【解析】（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为