专题23彩票问题例1．某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为这10个数码中的任意1个．由摇号得出1个7位数（首位可为为中奖号，若某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖，若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖，各奖不可兼得．某人买了1张彩票且假设这期彩票中奖号码为1234567．（1）求其获得二等奖的概率；（2）求其获得三等奖及以上奖的概率．【解析】解：（1）某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为这10个数码中的任意1个．由摇号得出1个7位数（首位可为为中奖号，基本事件总数，有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，二等奖包含的基本事件个数，其获得二等奖的概率．（6分）（2）其获得三等奖及以上奖包含获得一等奖、获得二等奖、获得三等奖3种情况，其获得三等奖及以上奖的概率．（16分）例2．某彩票的号码形如“”（其中，1，2，3，4，5，6，7，8，，，2，3，4，．现从这十个数字中每次取出一个数字，放回后再取下一个数字，取5次，依次按序排成一行成为一等奖号码．若彩票上的号码与一等奖号码恰有4个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为二等奖号码，恰有3个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为三等奖号码，其它为不中奖号码．（1）求某人买一张彩票中一等奖的概率；（2）若一等奖奖金1000元，二等奖奖金500元，三等奖奖金100元，求某人买一张彩票获得奖金数（元的概率分布及其数学期望；（3）某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是恰有2张获奖的概率的多少倍？【解析】解：（1）某人买一张彩票中一等奖的概率为；（2）某人买一张彩票中二奖的概率为，某人买一张彩票中三奖的概率为．某人买一张彩票得奖金数（元的概率分布为：10005001000则．（3）购买彩票获奖的概率为，某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是，恰有2张获奖的概率是，此时．例3．某市发行一种电脑彩票，从1到35这35个数中任选7个不同的数作为一注，开奖号码为从35个数中抽出7个不同的数，若购买的一注号码与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且仅有6个数与这7个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7个数中的5个数字相同，即中三等奖．（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是多少？（结果可以用含组合数的分数表示）（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数与的大小关系，并从组合的意义角度加以解释．【解析】（1）购买一注彩票中一等奖的概率购买一注彩票能中奖的概率（2）即从个不同元素中取出不同元素的组合数不小于将个元素分成和两部分，然后从个元素中取，从个中取个的方法数．例4．某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖概率为0.2；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，10元和100元三种；③顾客购买一张彩票，获得10元奖金的概率为0.08，获得100元奖金的概率为．（1）若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票，求其在第3天才中奖的概率；（2）福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展，应如何设定的取值．【解析】（1）设：第天中奖，：第3天才中奖，则所以，该顾客第3天才中奖的概率为0.128（4分）（2）设卖出一张彩票可能获得的资金为，则可以取2，，，，（6分），，，，的分布列为：20.80.08（10分）所以，令，得所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业持续发展．（12分）例5．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为．（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票，求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为元，求的概率分布（用表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围．【解析】解：（1）设至少一张中奖为事件，则顾客中奖的概率 ．（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为元，则可以取5，0，，，的分布列为：500.50.02（3）由（2）的期望为，福彩中心能够筹得资金，即，所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．例6．某种福利彩票每期的开奖方式是，从1，2，，20的基本号码中由电脑随机选出4个不同的幸运号码（不计顺序），凡购买彩票者，可自由选择1个，2个，3个或4个不同的基本号码组合成一注彩票，若彩票上所选的基本号码都为幸运号码就中奖．根据所选基本号码（幸运号码）的个数，中奖等级分为基本号码数（幸运号码数）1234中奖等级四等奖三等奖二等奖一等奖（1）求购买一注彩票获得三等奖或者四等奖的概率；（2）设随机变量表示一注彩票的获奖等级，取值0，1，2，3，表示未获奖），求随机变量的分布列．【解析】（本小题满分12分）解：（1）设事件表示获得三等奖或四等奖，则（A）．（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，随机变量的分布列为：01234例7．一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；其他情况均无奖金．（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件，请指出事件的含义，并求事件发生的概率；（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量，求的数学期望．【解析】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，小明中一等奖的概率是一个古典概型，试验发生的所有事件由分步计数原理知共有种结果，满足条件的事件是1个，小明（小辉）中一等奖的概率为由相互独立事件同时发生的概率公式得到小明，小辉都中一等奖的概率为（Ⅱ）事件的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”显然，事件与事件互斥，所以，（A）（B）故购买一张这种彩票能中奖的概率为0.1．（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，的分布列如下：080.90.090.01购买一张这种彩票的期望收益为损失1.72元．例8．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为．（1）假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率；（2）为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围．【解析】解：（1）设至少有两张彩票中奖事件，则（A），（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为，则可以取5，0，，，故的分布列为50所以的期望为所以当时，即所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．例9．某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．【解析】解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的列联表如下：中奖注数未中奖注数总计未分析509501000分析后7514251500总计12523752500假设：对彩票号码的研究与中奖无关．由表中数据，得的观测值为．因为，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．例10．某种彩票是由7位数字组成，每位数字均为这10个数码中的任一个．由摇号得出一个7位数（首位可为为中奖号，如果某张彩票的7位数与中奖号码相同即得一等奖；若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖；若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖；各奖不可兼得．某人一次买了10张不同号码的彩票．（1）求其获得一等奖的概率；（2）求其获得三等奖及以上奖的概率．【解析】解：（1）7个数字的所有排列共计种，买一注彩票获得一等奖的选法仅有一种，故他买一注彩票获得一等奖的概率为．再根据此人一次买了10张不同号码的彩票，故他买一注彩票获得一等奖的概率为．（2）他中二等奖的概率为，他中三等奖的概率为，故他获得三等奖及以上奖的概率为．例11．售价为2元的某种彩票的中奖概率如下：中奖金额元0248中奖概率0.70.20.080.02（Ⅰ）某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元的概率为多少？（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为元，求的分布列与数学期望．【解析】解：（Ⅰ）记“某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元”为事件，可知事件有三种情况：第一种中奖金额为0，0，8；第二种中奖金额为2，2，4；第三种中奖金额位0，4，4，则（A）；（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为元，取值分别为，，0，2，4，6，8，12，则，，，，，，，的分布列为02468120.490.280.1520.0320.03440.0080.00320.0004数学期望例12．一种填数字彩票2元一张，购买者在彩票上依次填上中的两个数字（允许重复），中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的四个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元，其他情况均不中奖．（1）小明和小辉在没有商量的情况下各买了一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（2）求购买一张这种彩票能够中奖的概率；【解析】解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，小明中一等奖的概率是一个古典概型，试验发生的所有事件由分步计数原理知共有种结果，满足条件的事件是1个，小明（小辉）中一等奖的概率为由相互独立事件同时发生的概率公式得到小明，小辉都中一等奖的概率为（2）购买一张这种彩票能够中奖包括中一等奖或中二等奖，购买一张这样的彩票：中一等奖的概率为中二等奖的概率为这两个事件是互斥事件．购买一张彩票能中奖的概率为：．