考向23二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．（2022年乙卷文科第5题）若满足约束条件，则的最大值是A.B.C.D.【答案】【解析】解法1：作图可知在点处取得最大值解法2：求出可行域的三个顶点坐标，，分别求出目标函数值为，，比较得的最大值为.2．（2022年浙江卷第3题）若实数满足约束条件，则的最大值是（）. A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，可知过点时取到最大值18，故选B．3．（2021年浙江卷第5题）若实数满足约束条件，则的最小值是（）. A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，画出可行域，显然过点时，取到最小值，即，故选B．1.一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2.一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．3.两个防范(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．(2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z取最大值．1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.易错点1：混淆动直线的截距与所求最值间的对应关系这一错解告诉我们先将目标函数改写为动直线的斜截式方程再从中|确定目标函数值与动直线截距间的对应关系,是准确求解线性规划问题的第一步.易错点2：无视动直线与可行域边界直线间的相对倾斜程度当线性约束条件表示的可行域为一多边形时，,明确动直线与可行域边界直线的相对倾斜情况，是正确求解线性规划问题的第二步.-般地，可先观察直线斜率的正负然后再根据斜率绝对值的大小来确定动直线与边界直线的相对倾斜情况.易错点3：忽视变量实际意义“想当然”推断最优解求最优整数解是线性规划的难点.本题的剖析其实给同学们展示了一种求最优整数解的简便方法:第一步求出不考虑整数条件时的最优解A及此时的目标函数值z(A).若A恰好为整数解,则问题解决;若A不是整数解则进入第二步在该“最优解”附近求得某一整数解B及此时的目标函数值z(B);第三步推断介于z(A)与z(B)之间的可能的目标函数值,并求出该目标函数值对应的所有整数解;第四步验证这些整数解是否在可行域内.易错点4：分析、转化问题不全面求解二元一次式的绝对值这个问题似乎并没有直接指向线性规划,但我们通过转化使其具有了线性意义.设z=2r+y,找出这一目标函数的最值,等于变相地去掉了绝对值符号.但如果分析不全面,仍然可能导致错解.可见线性转化、全面分|析乃是线性规划应用的原则.1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6＜0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )A B C D【答案】C【解析】 把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x－3y＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x－y＋2≥0表示的平面区域内。2.不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2，))表示的平面区域的面积为( )A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\f(5,2)【答案】A【解析】不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2，))表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求平面区域的面积．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1，故选A.3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4，))所表示的平面区域的面积等于( )A.eq\f(3,2) B．eq\f(2,3) C.eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)【答案】C【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为eq\f(1,2)×1×eq\f(8,3)＝eq\f(4,3).4．已知实数，满足不等式组：，则满足条件的点所表示平面区域的面积为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，阴影部分即不等式组对应的平面区域，则对应区域为三角形.由得即令中则，则，故.故选：D.5．设满足约束条件则的最大值为（    ）A．8 B．6 C．4 D．【答案】A【解析】作出可行域和目标函数，当直线经过点时，有最大值，最大值为8.故选：A6．若实数x，y满足约束条件则的最大值是（    ）A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过时有最大值.由可得，故，故，故选：B.7．实数x，y满足约束条件，则的最大值为_______【答案】2【解析】如图，作出约束条件表示的可行域，目标函数可化为，当且仅当动直线经过点时，取得最大值，由，解得，的最大值为2.8．若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为________．【答案】0【解析】由题意，作出所表示的平面区域，如图所示，联立，解得，即，由可行域可知，当直线过点时，z取得最大值，最大值为，9．若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为_________．【答案】【解析】作出约束条件对应的可行域，如下图所示联立，可得点，目标函数整理为，由图象可得，当目标函数过点时，截距最小，z有最小值，此时.故答案为：310．设，满足约束条件则的最小值为___________．【答案】【解析】画出可行域如下图：由图可知，当直线过点时，取得最小值．1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式组所表示的区域如下图：则的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，点到直线的距离最小，由点到直线距离公式，可得，所以，所以的最小值为，故选：B．2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））已知实数x，y满足，则目标函数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出约束条件的可行域，如图阴影部分所示，其中，表示定点与可行域内点连线的斜率，因为，，所以z的取值范围是．故选：B3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知实数x，y满足，则（    ）A．最小值为-7，最大值为2 B．最小值为-2，最大值为7C．最小值为-7，无最大值 D．最大值为2，无最小值【答案】C【解析】作出可行域，如图所示阴影部分：，，即，直线越往上移的取值越小，当直线往上平移至经过点时，取最小值，此时，当直线往下平移至经过点时，，因为该点取不到，所以无法取到最大值，即的最小值为-7，无最大值．故选：C．4．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】C【解析】不等式组表示的可行域如图所示阴影部分，作直线，在直线中，表示直线的纵截距，向上平移直线增大，向下平移直线减小，平移该直线，当它过点时，为最小值．故选：C．5．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））如果点在平面区域上，则的最小值是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】如图，作出表示的平面区域，图中区域，，而，设点,即表示的是和定点的距离的平方减去1，由图可知，联立，解得,而,则，到直线的距离为,,故当垂直于AB时，最小，则的最小值为，故选：A6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足的约束条件，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影区域，其中点，目标函数表示可行域内的点与定点确定直线的斜率，过点P的直线平行于直线，其斜率为，过点P的直线经过点，其斜率为，直线从直线（不含直线）绕点P逆时针旋转到直线的位置，直线均符合条件，则或，所以的取值范围是.故选：B7．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数的极大值点，极小值点，则的取值范围是（      ）A． B．C． D．【答案】B【解析】又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知，根据倾斜角的变化，可得故选:B8（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知实数x，y满足，则的最小值是___________【答案】8【解析】画出可行域如图，因为的几何意义为到的距离的平方，由图可知距离最小值为到的距离，故的最小值为故答案为：89．（2022·四川成都·模拟预测（理））设满足约束条件，且的最小值为________.【答案】-2【解析】作出约束条件对应的可行域如下：令，则，当该动直线过点时纵截距最小，即最小，故的最小值为-2.故答案为：-2.10．（2022·河南郑州·三模（理））设变量，满足约束条件则的最大值为______．【答案】【解析】由，满足约束条件画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图像可知当直线经过点B时，直线在y轴的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（7，5），代入目标函数得z=7+5=12．即目标函数的最大值为12．故答案为：12.11．（2022·青海·模拟预测（理））若实数,目标函数的最大值为a，最小值为b，则______．【答案】8【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图：阴影部分，平移直线，当直线经过点A,B时，目标函数分别取得最小值和最大值，联立，解得,联立，解得,故，故，12（2022·广西·模拟预测（文））已知满足约束条件，则的取值范围为___________.【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线，结合图形可知，当直线过点时，取最小值，当直线过点时，取最大值，由，解得，所以，则,由，解得，所以，则，所以可求得的取值范围为，故答案为：1．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设，满足约束条件，则的最小值是 ( )A． B． C． D．【