考向18平面向量的数量积及应用举例1．（2022甲卷理第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．【答案】【解析】．2.（2022甲卷文科第13题）已知向量，，若，则________．【答案】【解析】由，得，解得．3.（2022乙卷理科第3题）已知向量满足，，，则B．C．D．【答案】C【解析】由题设，，得，代入，，有，故.4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量,，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得，则，选项D正确．（2022年新高考2卷第4题）已知，，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知有，，故，解得.5.（2022北京卷第10题）10.在中，为所在平面内的动点，且=1，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设所以选D.【方法2】注意：，且其中，.6.（2021新高考1卷第10题）10．已知为坐标原点，点，，，，则 A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A：，，A对；因为，，所以B错；因为，，，所以C对；而，，所以D错．故答案为AC．1.计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))). 3.求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(a·a)，|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1.已知向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，若c＝eq\f(a,|a|)，d＝eq\f(b,|b|)，则c·d＝( )A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3,4)【答案】B【解析】c·d＝eq\f(a,|a|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(|a||b|cosa，b,|a||b|)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).故选B.2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为( )A.eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2,5)eq\r(5)D．－eq\f(3,5)eq\r(5)【答案】D【解析】由a＝(1，2)，可得|a|＝eq\r(5)，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，所以a·b＝－3，所以向量b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝－eq\f(3\r(5),5).故选D.3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为( )A．0B．－2a2C．2a2D．－a2【答案】A【解析】由非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，所以a·c＝a·[－(a＋b)]＝－a2－a·b＝－a2－|a|·|b|·cosa，b．由于a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，所以a·c＝－a2－|a|·|b|cos120°＝－|a|2－2|a|2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.故选A.4.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )A.eq\f(\r(7),3)B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(7),9)D．eq\f(\r(2),9)【答案】B【解析】因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又因为a·b＝0，c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，所以|c|＝eq\r(（\r(7)a＋\r(2)b）2)＝3，a·c＝a·(eq\r(7)a＋eq\r(2)b)＝eq\r(7)，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(\r(7),3).因为〈a，c〉∈[0，π]，所以sin〈a，c〉＝eq\f(\r(2),3).故选B.5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|a＋2b|＝( )A．2eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\r(17)D．eq\r(15)【答案】C【解析】因为a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，所以|a－b|＝eq\r(5)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝eq\r(17).故选C.6．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3)D．eq\f(3,2)【答案】A【解析】.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－eq\f(3,2).7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，下列结论正确的是( )A.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq\r(3)B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq\r(3)D.eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】BCD【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，所以eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故C正确．因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，故B，D正确．8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】由向量的运算法则知eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；因为(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，即AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，故C对；因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60