考向18平面向量的数量积及应用举例1．（2022甲卷理第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．【答案】【解析】．2.（2022甲卷文科第13题）已知向量，，若，则________．【答案】【解析】由，得，解得．3.（2022乙卷理科第3题）已知向量满足，，，则B．C．D．【答案】C【解析】由题设，，得，代入，，有，故.4.（2022乙卷文科第3题）3．已知向量,，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得，则，选项D正确．（2022年新高考2卷第4题）已知，，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知有，，故，解得.5.（2022北京卷第10题）10.在中，为所在平面内的动点，且=1，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】建立如图所示坐标系，由题易知，设所以选D.【方法2】注意：，且其中，.6.（2021新高考1卷第10题）10．已知为坐标原点，点，，，，则 A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A：，，A对；因为，，所以B错；因为，，，所以C对；而，，所以D错．故答案为AC．1.计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))). 3.求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(a·a)，|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1.已知向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，若c＝eq\f(a,|a|)，d＝eq\f(b,|b|)，则c·d＝( )A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3,4)2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1，2)，则向量b在a方向上的投影为( )A.eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2,5)eq\r(5)D．－eq\f(3,5)eq\r(5)3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为( )A．0B．－2a2C．2a2D．－a24.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq\r(7)a＋eq\r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )A.eq\f(\r(7),3)B．eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(7),9)D．eq\f(\r(2),9)5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|a＋2b|＝( )A．2eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\r(17)D．eq\r(15)6．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3)D．eq\f(3,2)7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，下列结论正确的是( )A.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为－eq\r(3)B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq\r(3)D.eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))8．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是( )A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形9.如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝____．10．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．11.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________． 12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，设向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝________．一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（    ）A．4 B．2 C．－4 D．－22．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知向量，.若，则可能是（    ）A．B．C．D．3．（2021··模拟预测）已知点，点，则的最大值为（    ）A．9 B．8 C．7 D．64．（2022·全国·模拟预测）已知向量，，，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则有最小值B．若，则有最小值C．若，则的值为D．若，则的值为15．（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若，则（    ）A． B． C． D．6．（2022·山东潍坊·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（    ）A．－1 B．1 C．－3 D．3二、多选题7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（    ）A． B．C． D．8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点，，，，则下列结论正确的是（    ）A．为等边三角形 B．最小值为C．满足的点P有两个 D．存在一点P使得9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则或C．若，则D．若，则10．（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（    ）A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则AQ的最小值为C．若的外心为M，则为定值2D．若，则点Q的轨迹长度为三、填空题11．（2022·四川广安·一模（理））早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上任意一点，则的值为__________．12．（2021·上海宝山·二模）如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为________13．（2021·浙江金华·三模）如图，在△ABC中，，，，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则___________.14．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则( )A． B． C． D．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，，则( )A． B． C． D．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ( )A．B．C．D．4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则 ( )A．4 B．3 C．2 D．05．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 ( )A． B． C． D．6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则 ( )A． B． C． D．7．(2014高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= ( )A．1 B．2 C．3 D．58．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则____