2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( )A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 2.(5分)=( )A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i 3.(5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B. C. D. 4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y= B.y= C.y=±x D.y= 5.(5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 6.(5分)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an﹣1 B.Sn=3an﹣2 C.Sn=4﹣3an D.Sn=3﹣2an 7.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于( )A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 8.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2 B.2 C.2 D.4 9.(5分)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为( )A. B. C. D. 10.(5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10 B.9 C.8 D.5 11.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 12.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0] 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t= .14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为 .15.(5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .16.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ= . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=﹣5.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前n项和.18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.20.(12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
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