2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设z=,则z的共轭复数为( )A.﹣1+3i B.﹣1﹣3i C.1+3i D.1﹣3i 2.(5分)设集合M={x|x2﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( )A.(0,4] B.[0,4) C.[﹣1,0) D.(﹣1,0] 3.(5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 4.(5分)若向量、满足:||=1,(+)⊥,(2+)⊥,则||=( )A.2 B. C.1 D. 5.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 6.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 7.(5分)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2e B.e C.2 D.1 8.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D. 9.(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )A. B. C. D. 10.(5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于( )A.6 B.5 C.4 D.3 11.(5分)已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 12.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是( )A.y=g(x) B.y=g(﹣x) C.y=﹣g(x) D.y=﹣g(﹣x) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)的展开式中x2y2的系数为 .(用数字作答)14.(5分)设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为 .15.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 .16.(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是 . 三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.18.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.22.(12分)函数f(x)=ln(x+1)﹣(a>1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an≤(n∈N*).
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