2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)cos300°=( )A. B.﹣ C. D. 2.(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则N∩(∁UM)=( )A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5} 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1 4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A. B.7 C.6 D. 5.(5分)(1﹣x)4(1﹣)3的展开式x2的系数是( )A.﹣6 B.﹣3 C.0 D.3 6.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30° B.45° C.60° D.90° 7.(5分)已知函数f(x)=|lgx|.若a≠b且,f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 8.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=( )A.2 B.4 C.6 D.8 9.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 10.(5分)设a=log32,b=ln2,c=,则( )A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 11.(5分)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )A. B. C. D. 12.(5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )A. B. C. D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)不等式的解集是 .14.(5分)已知α为第二象限角,sinα=,则tan2α= .15.(5分)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答)16.(5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C的离心率为 . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.18.(12分)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.19.(12分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.(Ⅰ)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(Ⅱ)求投到该杂志的4篇稿件中,至少有2篇被录用的概率.20.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.(Ⅰ)证明:SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A﹣DE﹣C的大小.21.(12分)求函数f(x)=x3﹣3x在[﹣3,3]上的最值.22.(12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(﹣1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;(Ⅱ)设,求△BDK的内切圆M的方程. 2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)cos300°=( )A. B.﹣ C. D. 【考点】GO:运用诱导公式化简求值.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用三角函数的诱导公式,将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值.【解答】解:∵.故选:C.【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识. 2.(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则N∩(∁UM)=( )A.{1,3} B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5} 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有【分析】根据补集意义先求CUM,再根据交集的意义求N∩(CUM).【解答】解:(CUM)={2,3,5},N={1,3,5},则N∩(CUM)={1,3,5}∩{2,3,5}={3,5}.故选:C.【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识,属容易题. 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可.【解答】解:画出可行域(如图),z=x﹣2y⇒y=x﹣z,由图可知,当直线l经过点A(1,﹣1)时,z最大,且最大值为zmax=1﹣2×(﹣1)=3.故选:B.【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A. B.7 C.6 D. 【考点】87:等比数列的性质.菁优网版权所有【分析】由数列{an}是等比数列,则有a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10.【解答】解:a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10,a52=a2a8,∴,∴,故选:A.【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 5.(5分)(1﹣x)4(1﹣)3的展开式x2的系数是( )A.﹣6 B.﹣3 C.0 D.3 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【分析】列举(1﹣x)4与可以出现x2的情况,通过二项式定理得到展开式x2的系数.【解答】解:将看作两部分与相乘,则出现x2的情况有:①m=1,n=2;②m=2,n=0;系数分别为:①=﹣12;②=6;x2的系数是﹣12+6=﹣6故选:A.【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力. 6.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30° B.45° C.60° D.90° 【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有【专题】1:常规题型.【分析】延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角.【解答】解:延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1D=A1B=DB=AB,则三角形A1DB为等边三角形,∴∠DA1B=60°故选:C.【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想,属于基础题. 7.(5分)已知函数f(x)=|lgx|.若a≠b且,f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【考点】34:函数的值域;3A:函数的图象与图象的变换;4O:对数函数的单调性与特殊点.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由已知条件a≠b,不妨令a<b,又y=lgx是一个增函数,且f(a)=f(b),故可得,0<a<1<b,则lga=﹣lgb,再化简整理即可求解;或采用线性规划问题处理也可以.【解答】解:(方法一)因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,不妨设0<a<b,则0<a<1<b,∴lga=﹣lgb,lga+lgb=0∴lg(ab)=0∴ab=1,又a>0,b>0,且a≠b∴(a+b)2>4ab=4∴a+b>2故选:C.(方法二)由对数的定义域,设0<a<b,且f(a)=f(b),得:,整理得线性规划表达式为:,因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题,则z=x+y⇒y=﹣x+z,即求函数的截距最值.根据导数定义,函数图象过点(1,1)时z有最小为2(因为是开区域,所以取不到2),∴a+b的取值范围是(2,+∞).故选:C.【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,根据条件a>0,b>0,且a≠b可以利用重要不等式(a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号)列出关系式(a+b)2>4ab=4,进而解决问题. 8.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=( )A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】HR:余弦定理;KA:双曲线的定义;KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】解法1,利用余弦定理及双曲线的定义,解方程求|PF1|•|PF2|的值.解法2,由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等,解出|PF1|•|PF2|的值.【解答】解:法1.由双曲线方程得a=1,b=1,c=,由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4.法2;由焦点三角形面积公式得:∴|PF1|•|PF2|=4;故选:B.【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想,查考生的综合运用能力及运算能力. 9.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【考点】MI:直线与平面所成的角;MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有【专题】5G:空间角.【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1,上下底面中心的连线与平面ACD1所成角,即为BB1与平面ACD1所成角,直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值.【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为O1,O,设正方体的棱长等于1,则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角,即∠O1OD1,直角三角形OO1D1中,cos∠O1OD1===,故选:D.【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题. 10.(5分)设a=log32,b=ln2,c=,则( )A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想.【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数,使底数相同,找中间量1与之比较大小,便值a、b、c的大小关系.【解答】解:a=log32=,b=ln2=,而log23>log2e>1,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b,故选:C.【点评】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 11.(5分)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那
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