2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数=( )A.i B.﹣i C.12﹣13i D.12+13i 2.(5分)记cos(﹣80°)=k,那么tan100°=( )A. B.﹣ C. D.﹣ 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1 4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A. B.7 C.6 D. 5.(5分)(1+2)3(1﹣)5的展开式中x的系数是( )A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 6.(5分)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种 B.35种 C.42种 D.48种 7.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 8.(5分)设a=log32,b=ln2,c=,则( )A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 9.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D. 10.(5分)已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )A. B. C.(3,+∞) D.[3,+∞) 11.(5分)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )A. B. C. D. 12.(5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )A. B. C. D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)不等式的解集是 .14.(5分)已知α为第三象限的角,,则= .15.(5分)直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 .16.(5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C的离心率为 . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.18.(12分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.(Ⅰ)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(Ⅱ)求投到该杂志的4篇稿件中,至少有2篇被录用的概率.19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.(Ⅰ)证明:SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A﹣DE﹣C的大小.20.(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣x+1.(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(Ⅱ)证明:(x﹣1)f(x)≥0.21.(12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(﹣1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;(Ⅱ)设,求△BDK的内切圆M的方程.22.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=c﹣.(Ⅰ)设c=,bn=,求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围. 2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数=( )A.i B.﹣i C.12﹣13i D.12+13i 【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】复数的分子中利用﹣i2=1代入3,然后化简即可.【解答】解:故选:A.【点评】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 2.(5分)记cos(﹣80°)=k,那么tan100°=( )A. B.﹣ C. D.﹣ 【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值;GG:同角三角函数间的基本关系;GO:运用诱导公式化简求值.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】法一:先求sin80°,然后化切为弦,求解即可.法二:先利用诱导公式化切为弦,求出求出结果.【解答】解:法一,所以tan100°=﹣tan80°=.:法二cos(﹣80°)=k⇒cos(80°)=k,=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可.【解答】解:画出可行域(如图),z=x﹣2y⇒y=x﹣z,由图可知,当直线l经过点A(1,﹣1)时,z最大,且最大值为zmax=1﹣2×(﹣1)=3.故选:B.【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A. B.7 C.6 D. 【考点】87:等比数列的性质.菁优网版权所有【分析】由数列{an}是等比数列,则有a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10.【解答】解:a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10,a52=a2a8,∴,∴,故选:A.【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 5.(5分)(1+2)3(1﹣)5的展开式中x的系数是( )A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用完全平方公式展开,利用二项展开式的通项公式求出x的系数.【解答】解:(1+2)3(1﹣)5=(1+6+12x+8x)(1﹣)5故(1+2)3(1﹣)5的展开式中含x的项为1×C53()3+12x=﹣10x+12xC50=2x,所以x的系数为2.故选:C.【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力 6.(5分)某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种 B.35种 C.42种 D.48种 【考点】D1:分类加法计数原理.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A类选修课选1门,B类选修课选2门;A类选修课选2门,B类选修课选1门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果.【解答】解:可分以下2种情况:①A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;②A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.故选:A.【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.本题也可以从排列的对立面来考虑,写出所有的减去不合题意的,可以这样解:C73﹣C33﹣C43=30. 7.(5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【考点】MI:直线与平面所成的角;MK:点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有【专题】5G:空间角.【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1,上下底面中心的连线与平面ACD1所成角,即为BB1与平面ACD1所成角,直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值.【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为O1,O,设正方体的棱长等于1,则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角,即∠O1OD1,直角三角形OO1D1中,cos∠O1OD1===,故选:D.【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题. 8.(5分)设a=log32,b=ln2,c=,则( )A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想.【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数,使底数相同,找中间量1与之比较大小,便值a、b、c的大小关系.【解答】解:a=log32=,b=ln2=,而log23>log2e>1,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b,故选:C.【点评】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 9.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D. 【考点】HR:余弦定理;KA:双曲线的定义;KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得,.由余弦定理得cos∠F1PF2=,由此可求出P到x轴的距离.【解答】解:不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得,.由余弦定理得cos∠F1PF2=,即cos60°=,解得,所以,故P到x轴的距离为故选:B.【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 10.(5分)已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )A. B. C.(3,+∞) D.[3,+∞) 【考点】34:函数的值域;3D:函数的单调性及单调区间;4H:对数的运算性质;7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题;35:转化思想.【分析】由题意f(a)=f(b),求出ab的关系,然后利用“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数,确定a+2b的取值范围.【解答】解:因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+2b=又0<a<b,所以0<a<1<b,令,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).故选:C.【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+2b=,从而错选A,这也是命题者的用心良苦之处. 11.(5分)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )A. B. C. D. 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;JF:圆方程的综合应用.菁优网版权所有【专题】5C:向量与圆锥曲线.【分析】要求的最小值,我们可以根据已知中,圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,结合切线长定理,设出PA,P
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