2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．k2．反比例函数yk(0)的图象经过点(2,3)，则下列点也在此函数图象上的是()xA．(1,6)B．(3,2)C．(3,2)D．(3,2)k【解答】解：反比例函数yk(0)的图象经过点(2,3)，xkxy236，6y，x故四个选项中，只有B(3,2)在此函数上，故选：B．3．抛物线yx212的对称轴是()11A．直线xB．直线xC．y轴D．直线x222【解答】解：因为a20，所以开口向下；b根据对称轴公式x，可得对称轴x0．2a故选：C．4．在ABC中，C90，BC8，AB17，则cosA的值是()158815A．B．C．D．1717158第7页（共24页）【解答】解：C90，BC8，AB17，ACAB22BC1722815，AC15cosA，AB17故选：A．5．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BCcm8，内部DEF的各边与ABC的各边分别平行，且它的斜边EFcm4，则DEF的面积与阴影部分的面积比为()A．1:2B．1:3C．1:4D．1:8【解答】解：把EF向两边延长，交AB于点G，交AC于点H，GH//BC，BAGH，CAHG，DE//AB，AGHDEF，DEFB，DF//AC，AHGDFE，CDFE，ABC∽DEF，BC8cm，EF4cm，SEF1DEF()2，SBCABC4DEF的面积与阴影部分的面积比为：1:3，故选：B．6．关于二次函数yx(2)12，下列说法错误的是()第8页（共24页）A．图象开口向下B．图象顶点坐标是(2,1)C．当x0时，y随x增大而减小D．图象与x轴有两个交点【解答】解：因为a10，所以图象开口向下，故A正确；顶点坐标是(2,1)，故B正确；抛物线对称轴为x2．当x2时，y随x增大而减小，当x0时，y随x增大而减小，故C正确；抛物线开口向下，顶点坐标为(2,1)抛物线与x轴没有交点，故D错误；故选：D．7．如图，O是ABC的外接圆，连接AO并延长交O于点D，若B55，则CAD的度数为()A．25B．30C．35D．45【解答】解：连接CD，如图，AD为直径，ACD90，DB55，CAD90D905535．故选：C．第9页（共24页）8．如图，在ABC中，C45，tan3B，ADBC于点D，AC26，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为()2A．3B．2C．3D．63【解答】解：在RtACD中，AC26，C45，2ADACsin452623，2tanB3，B60，AD23在RtABD中，AB4，sin6032E、F分别为AC、BC的中点，EF是ABC的中位线，1EFAB2，2故选：B．9．在同一坐标系中，直线yaxa和抛物线yaxx232(a是常数，且a0)的图象可能是()A．B．第10页（共24页）C．D．【解答】解：A、由一次函数yax的图象可得：aa0，则a0，此时二次函数yaxx232的图象应该开口向上，故选项错误；B、由一次函数yax的图象可得：aa0，则a0，此时二次函数yaxx232的图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项错误；C、由一次函数yax的图象可得：aa0，则a0，此时二次函数yaxx232的图象应该开口向下，故选项错误；D、由一次函数yax的图象可得：aa0，则a0，此时二次函数yaxx232的图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项正确．故选：D．10．如图，矩形ABCD中，BAC60，点E在AB上，且BE:1:3AB，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，CF的值为()AD3113A．B．C．D．9323【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，第11页（共24页）四边形ABCD是矩形，ABC90，O是EF的中点，OBOEOF，EGF90，O是EF的中点，OGOEOF，OBOGOEOF，B，E，G，F在以O为圆心的圆上，EBGEFG，EGF90，EGFG，GEFGFE45，EBG45，BG平分ABC，点G在ABC的平分线上，当CGBG时，CG最小，此时，如图2，BG平分ABC，1ABGGBCABC45，2CGBG，第12页（共24页）BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，BGC90，BGCG，EGFBGC90，EGFBGFBGCBGF，EGBFGC，在EGB和FGC中，BGCGEGBFGC，EGFGEGBFGC()SAS，BECF，四边形ABCD是矩形，ADBC，设ABm，BE:1:3AB，1CFBEm，3在RtABC中，BAC60，ACB30，AC22ABm，BCAC22AB3m，AD3m，1mCF33．AD3m9故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知xy:1:2，则():xyy3:2．【解答】解：xy:1:2，yx2，():3:23:2xyyxx．第13页（共24页）故答案为3:2．12．（5分）如图，D是ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件：ACDABC或ACADACBD或，使ACD∽ABC．ABAC【解答】解：添加：ACDABC．AA，ACDABC，ABC∽ACD．添加：ACBD．AA，ACBD，ABC∽ACD．ACAD添加：．ABACACADAA，，ABACABC∽ACD．ACAD故答案为：ACDABC或ACBD或．ABAC13．（5分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB20m，拱高CD5m，则该拱桥的半径为12.5m．【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径是rm，连接OA．1根据垂径定理，得：ADAB10m，2在RtAOD中，根据勾股定理，得rr2210(5)2，解得：r12.5，即该拱桥的半径为12.5m，故答案为：12.5．第14页（共24页）14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)在抛物线yx22bxc上．（1）c2b（用含b的式子表示）；3（2）若将该抛物线向右平移t个单位()t，平移后的抛物线仍经过A(1,1)，则平移后抛2物线的顶点纵坐标的最大值为．【解答】解：（1）点A(1,1)在抛物线yx22bxc上，112bc，cb2；（2）由（1）得cb2，抛物线为yx22222()bxbxbb2b，将该抛物线向右平移t个单位得yxbtb()222b，平移后的抛物线仍经过A(1,1)，1(1bt)22b2b，解得t0（舍去）或tb22，平移后抛物线为yxb(2)222bb，顶点为(2,2)bbb2，平移后抛物线的顶点纵坐标为bbb222(1)1，3t，23722b，即b，24777b时，平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为(1)12，44167故答案为：．16三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）115．（8分）计算：cos302sin45tan60．2第15页（共24页）1【解答】解：cos302sin45tan60232123222332222．16．（8分）如图，在ABC中，BC10，BC边上的高AD10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，若设DEx，PNy．（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）直接写出当x取何值时，矩形PQMN面积最大．【解答】解：（1）四边形PQMN是矩形，PN//BC，APN∽ABC，AEPN，ADBC10xy，1010yxx10(010)，2（2）SDEPNxxx矩形PQMN10(5)25，当x5时，S矩形pqmn最大25．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的1010的网格中，给出了格点ABC（顶点为网格线的交点）．（1）在给定的网格中，以点M为旋转中心将线段AB顺时针旋转90，得到线段AB11（点A、B的对应点分别为A1、B1)，画出线段AB11；（2）在给定的网格中，以点N为位似中心将ABC放大为原来的2倍，得到△ABC222（点第16页（共24页）A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2)，画出△AB222C．【解答】解：（1）如图，线段AB11即为所求；（2）如图，△AB222C即为所求．18．（8分）如图，一航船在A处测到北偏东60方向上有一小岛B，航船向正东方向以40海里/小时的速度航行1.5小时到达C处，又测到小岛B在北偏东15方向上．（参考数据：21.414，31.732)（1）求A处到小岛B的距离AB（结果保留整数）；（2）已知小岛B周围42海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？【解答】解：（1）作CDAB，垂足为点D．根据题意可得，BAC906030，ACB9015105，第17页（共24页）BBACACB18045，AC401.560（海里），在RtACD中，DCADsinCAD，cosCAD，ACAC13DCACsin306030（海里），ADACcos306030352（海里），22在RtBCD中，DCtanB，BDDC30BD30（海里），tan451ABADBD82（海里）．答：A处到小岛B的距离AB约82海里；（2）过点B作BEAC，垂足为点E，11SACBEABCD，ABC22ABCD8230BE41（海里）42海里，AC60答：航船继续向正东方向航行，有触礁危险．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．（10分）如图，四边形ABCD中，BD平分ABC，ADBDCB90，E为AB的中点，CE与BD交于点F．（1）求证：ABD∽DBC；（2）若BC:2:3AB，BD14，求BF的长．【解答】（1）证明：BD平分ABC，第18页（共24页）CBDABD，ADBDCB90，ABD∽DBC；（2）解：ABD∽DBC，BCBD，CDBA，BDABBC:2:3AB，BD14，2BCABBD2，即142ABAB，3AB76，22146BCAB76，333点E是AB的中点，176DEBEAB，22EDBEBD，EDBCDBEB