2013年宁夏中考数学试卷（教师版）一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）计算（a2）3的结果是（ ）A．a5 B．a6 C．a8 D．3a2【微点】幂的乘方与积的乘方．【思路】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．【解析】解：（a2）3＝a6．故选：B．【点拨】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【微点】解一元二次方程﹣因式分解法．【思路】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解析】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1．故选：D．【点拨】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．3．（3分）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）A．25m B．25m C．25m D．m【微点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【思路】首先过点C作CE⊥AB于点E，易得∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，BC＝50m，利用正弦函数，即可求得答案．【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，BC＝50m，∴CE＝BC•sin60°＝25（m）．故选：A．【点拨】此题考查了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于（ ）A．44° B．60° C．67° D．77°【微点】翻折变换（折叠问题）．【思路】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解析】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，∴∠BDC67°．故选：C．【点拨】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5．（3分）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A． B． C． D．【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路】等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数＝1500顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数＝8000人，进而得出答案．【解析】解：根据甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，得方程x+y＝1500；根据共安置8000人，得方程6x+4y＝8000．列方程组为：．故选：D．【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，此题中要能够分别根据帐篷数和人数列出方程．6．（3分）函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）A． B． C． D．【微点】一次函数的图象；反比例函数的图象．【思路】首先把一次函数化为y＝ax﹣a，再分情况进行讨论，a＞0时；a＜0时，分别讨论出两函数所在象限，即可选出答案．【解析】解：y＝a（x﹣1）＝ax﹣a，当a＞0时，反比例函数在第一、三象限，一次函数在第一、三、四象限，当a＜0时，反比例函数在第二、四象限，一次函数在第一、二、四象限，故选：A．【点拨】此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．7．（3分）如图是某几何体的三视图，其侧面积（ ）A．6 B．4π C．6π D．12π【微点】由三视图判断几何体．【思路】先判断出该几何体为圆柱，然后计算其侧面积即可．【解析】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，侧面积为：πdh＝2π×3＝6π．故选：C．【点拨】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．8．（3分）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）A． B． C． D．【微点】相切两圆的性质；扇形面积的计算．【思路】根据直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B＝90°，再由⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，根据扇形的面积公式即可求解．【解析】解：∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2，∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和πR2．故选：B．【点拨】本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．【微点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解析】解：原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是 0＜a＜3 ．【微点】解一元一次不等式组；点的坐标．【思路】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【解析】解：∵点P（a，a﹣3）在第四象限，∴，解得0＜a＜3．故答案为：0＜a＜3．【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．11．（3分）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 3 种．【微点】轴对称图形；概率公式．【思路】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解析】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．故答案为：3．【点拨】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．12．（3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 2 cm．【微点】勾股定理；垂径定理．【思路】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解析】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴ADcm，∵OD⊥AB，∴AB＝2ADcm．故答案为：2．【点拨】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y（x＜0）的图象经过点C，则k的值为 ﹣6 ．【微点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．【思路】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2），∵点C在反比例函数y的图象上，∴2，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．14．（3分）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC＝4，下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号）【微点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【思路】根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DEBC＝2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：2，选出正确的结论即可．【解析】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DEBC＝2，∴△ADE∽△ABC，故①②正确；∵△ADE∽△ABC，，∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4，△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：2，故③正确，④错误．故答案为：①②③．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 2a ．【微点】旋转的性质．【思路】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，可求得：∠B＝90°﹣α，由旋转的性质可得：CB＝CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB＝∠B＝90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°﹣α，由旋转的性质可得：CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝2α．即旋转角的大小为2α．故答案为：2α．【点拨】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．16．（3分）若不等式组有解，则a的取值范围是 a＞﹣1 ．【微点】不等式的解集．【思路】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．【解析】解：∵由①得x≥﹣a，由②得x＜1，故其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．【点拨】考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．三、解答题（共24分）17．（6分）计算：．【微点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路】分别进行负整数指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，代入特殊角的三角函数值合并即可．【解析】解：原式．【点拨】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题．18．（6分）解方程：．【微点】解分式方程．【思路】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式