专题02实际问题与一元二次方程（经典基础题6种题型+优选提升题）传播问题传播问题送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为；握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为．这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．1．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，参加比赛的球队有x支，则x的值为（      ）A．8 B．9 C．18 D．10【答案】A【分析】设参加比赛的球队有x支，根据“每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场”即可列出方程【详解】设参加比赛的球队有x支，由题意得：，解得：（舍去）∴故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能够准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．2．（2021秋·江苏无锡·九年级宜兴市树人中学校联考期中）疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（    ）A．3x2＝147 B．3（1＋x）2＝147 C．3（1＋x＋x2）＝147 D．（3＋3x）2＝147【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据“经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎”即可得到方程．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：3（1+x）2=147，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考期中）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．【详解】解：设有x个班级参加比赛，，，解得：（舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．4．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A． B．x（x+1）=1980C．2x（x+1）=1980 D．x（x-1）=1980【答案】D【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．【详解】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x=1980，故选D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键.二、填空题5．（2021秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考期中）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．【答案】50【分析】设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．故答案为：50．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题增长率问题 基本公式：， 表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．一、填空题1．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）某种商品原价每件130元，经过两次降价，现售价每件元．若设该种商品平均每次降价的百分率是，根据题意，可得方程．【答案】【分析】设该种商品平均每次降价的百分率是，根据“原价每件130元，经过两次降价，现售价每件元．”列出方程，即可求解．【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率是，根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为．【答案】【分析】设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）某地区加大教育投入，2021年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2023年，教育经费投入为2420万元，则该地区教育经费投入年平均增长率为．【答案】10%【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2023年的经费为2000(1+x)2，2023年投入教育经费2420万元，建立方程2000(1+x)2=2420，求解即可．【详解】解：设年平均增长率为x，由题意可得：2000(1+x)2=2420，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．所以2021年到2023年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用−−求平均变化率的方法，能够列出式子是解答本题的关键．4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考期中）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为．【答案】【分析】利用第三个月进馆人次第一个月进馆人次平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．5．（2023春·江苏盐城·九年级校联考期中）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：．【答案】50（1-x）（1-2x）=36【分析】首先设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，即可得解.【详解】设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意，得50（1-x）（1-2x）=36【点睛】此题主要考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，列出一元二次方程是解题关键.与图形有关的问题几何面积问题： 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．一、解答题1．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用24米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：(1)设仓库垂直于墙的一边长为米，则仓库平行于墙的一边长为______米；(2)以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？【答案】(1)(2)长方形的两条邻边的长分别是7米，12米【分析】（1）设仓库垂直于墙的一边长为米，则仓库平行于墙的一边长为米；（2）根据（1）的结论列出一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设仓库垂直于墙的一边长为米，则仓库平行于墙的一边长为米；故答案为：；（2）解：由题意得：；解之得：，；当时，，不合题意，舍去；当时，；答：长方形的两条邻边的长分别是7米，12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出代数式与方程是解题的关键．2．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）某农庄计划扩大菜地面积，现有一块矩形菜地，它的短边长为8m，若扩大短边的长，使得扩大后的菜地形状为正方形，则扩大后的菜地面积比原来增加，求菜地边的长．【答案】10m【分析】设长为m，则可知是，根据扩大后的菜地面积比原来增加列方程求解，得出答案．【详解】解：设菜地边长为m，则是．根据题意，得，解得（舍去）．答：菜地边长为m．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是认真审题、正确列出方程求解．3．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图所示，面积为的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大，求绿化区的面积．【答案】【分析】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为，根据矩形广场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出绿化区的面积．【详解】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为根据题意，得，整理，得，解得（不合题意，舍去），，∴，答：绿化区的面积为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022秋·江苏·九年级统考期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米．(1)若花园的面积为平方米，求的值；(2)若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)x的值为或(2)不能，理由见解析【分析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；根据题意可得方程，求出的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．【详解】（1）解：米，米，由题意得：，解得：，，∴x的值为或；（2）解：花园的面积不能为米，理由如下：由题意得：，解得：，当时，，即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值．【答案】或【分析】根据“改造后的面积比原来增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：由题意得，整理，得，        解得．答：的值为或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．6．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长27m)，另外三边用木栏围成，木栏长40m．(1)若鸡场的面积为150m2，求的值；(2)为何值时，鸡场的面积有最大值?最大值是多少?【答案】(1)为15m(2)B为10时，鸡场的面积有最大值，最大面积是200平方米【分析】（1）设米，米，根据题意列出方程求解即可；（2）设总面积为，根据题意列出函数关系式，然后化为顶点式求解即可．【详解】（1）解：设AB=米，BC=米，根据题意得：，，解得：，，，．答：为15m．（2）解：设总面积为，则，当米时，最大平方米．答：为10时，鸡场的面积有最大值，最大面积是200平方米．【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键．7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）用总长为100米的篱笆围成矩形场地．(1)根据题意，填写表：矩形一边长米20253035矩形面积600(2)设矩形一边长为x米，矩形面积为S平方米，请用含x的表达式表示：_________．(3)若矩形场地的面积为，请求出矩形场地的长和宽？【答案】(1)625