专题03圆的有关性质圆的认识1．（2022秋•邗江区期中）已知⊙O的半径为2，则⊙O中最长的弦长（ ）A．2 B． C．4 D．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×2＝4．故选：C．2．（2022秋•姑苏区期中）如图所示，三圆同心于O，AB＝4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为 cm2．【解答】解：阴影部分的面积应等于＝圆＝π（4÷2）2＝πcm2．3．（2022秋•镇江期中）战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；故答案为：圆心垂径定理4．（2022秋•姑苏区校级期中）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP＝，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，∵AC⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，∵OA＝OD＝2，OP＝，设OE为x（x＞0），根据勾股定理得，OF＝EP＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝∴AC＝2AE＝2，同理得，BD＝2DF＝2＝2，又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2当x2＝即：x＝时，四边形ABCD的面积最大，等于2＝5．故选：B．5．（2022秋•宿豫区期中）如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，若BP＝6，AP＝2，点O到AB的距离为3，则OP的长度是（ ）A．3 B．4 C． D．【解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，因为BP＝6，AP＝2，点O到AB的距离为3，所以AB＝8，AC＝BC＝4，OC＝3，所以PC＝AC﹣PA＝4﹣2＝2，所以．故选：D．6．（2022秋•江都区期中）如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）A．1 B． C． D．3【解答】解：∵直径CD⊥AB，AB＝2，∴AH＝AB＝1，在Rt△AHO中，∠A＝45°，∴AH＝OH＝1，∴AO＝DO＝，∴DH＝DO+OH＝+1．故选：B．7．（2022秋•阜宁县期中）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为 ．【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB＝4，∴OA＝OC＝AB＝2，∴弦CD⊥AB于P，OP＝，∴CP＝＝1，∴CD＝2CP＝2．故答案为：2．8．（2022秋•丹阳市期中）圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB＝ cm．【解答】解：连接OB．∵在Rt△ODB中，OD＝4cm，OB＝5cm．由勾股定理得BD2＝OB2﹣OD2＝52﹣42＝9．∴BD＝3∴AB＝2BD＝2×3＝6cm．故答案是6．9．（2022秋•丹阳市期中）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为 ．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，∴AC＝BC，∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0）．故答案为：（6，0）．10．（2022秋•工业园区校级期中）在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为 ．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF﹣OE＝1cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AF＝4cm，CE＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝4cm，OF＝3cm，∴EF＝OF+OE＝7cm．故答案为：1cm或7cm．11．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD＝6，BD＝，则OH的长为 ．【解答】解：如图，连接OD；∵弦CD垂直于⊙O的直径AB，且CD＝6，∴CH＝DH＝3；设⊙O的半径为r，OH＝x，则BH＝r﹣x；由勾股定理得：，解得：x＝4，r＝5；即OH的长为4，故答案为：4．12．（2022秋•惠山区期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，故图中阴影部分的面积为：S△ABD＝AB•DH＝×10×4＝20．故答案为：20．13．（2022秋•泰兴市期中）如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半圆⊙B、⊙D．直线l∥AE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点，AE＝12，设FG＝x，MN＝y．当7≤x≤11，则y的取值范围是 ．【解答】解：过B点作BQ⊥FM于Q，过D点作DH⊥NG于H点，连接BF、DG，如图，则FQ＝MQ，NH＝GH，∵l∥AE，∴BQ＝DH，BQ⊥AE，DH⊥AE，∴四边形BDHQ为矩形，∴QH＝BD＝AE＝6，即QM+MN+NH＝6，∴QM+NH＝6﹣y，∵FQ＝，GH＝，而BF＝DG，∴FQ＝GH，∴FQ＝MQ＝NH＝GH，∵FG＝FM+MN+NG＝2QM+MN+2NH＝2（QM+NH）+MN，∴x＝2（6﹣y）+y＝12﹣y，∵7≤x≤11，∴7≤12﹣y≤11，∴1≤y≤5．故答案为：1≤y≤5．14．（2022秋•姜堰区期中）如图，半圆O的直径AB＝4，弦，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为 ．【解答】解：当点C与点A重合时，如图，连接OM，∵点M是CD的中点，∴OM⊥CD，∴∠AMO＝90°，∴OM＝＝＝CM，∴∠AOM＝45°，当CD在半圆弧上旋转到点D与点B重合时，此时可得∠BOM′＝45°，∴∠MOM′＝90°，即弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就绕着点O逆时针旋转90°，∴OMM′＝∠OM′M＝45°，∴MM′∥AB，∴S△AMM′＝S△BMM′，∴BM扫过的面积，即不规则扇形BMM′与扇形OMM′面积相等，∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为S扇形S扇形OMM′＝＝，故答案为：．15．（2022秋•南京期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 ．【解答】解：延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，∵∠ABC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵AO＝DO，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝4，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∵EO⊥AD，∴AE＝DE，∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，在Rt△DEO中，DO＝4，DE＝2，∴EO＝2，∴CO的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．16．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 ．【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DE＝CD，设BE＝x，则CE＝x+2，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝42﹣x2，在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2＝AC2﹣CE2，即AE2＝52﹣（x+2）2，所以42﹣x2＝52﹣（x+2）2，解得x＝，即BE＝，∴CE＝+2＝，∴CD＝2CE＝，∴BD＝CD﹣BC＝，故答案为：．17．（2022秋•启东市期中）如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为 ．【解答】解：∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB，∴AC＝AB＝×8＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣2，连接OA，在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．故答案为：5．18．（2022秋•玄武区校级期中）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．【解答】解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，∴∠AQD＝90°，∴点Q在以AD为直径的圆上，连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，连接MO并延长交⊙M于Q′，当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，连接OD，在Rt△ODE中，∵OD＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，∴MA＝MQ′＝2，在Rt△AOM中，OM＝＝，∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，∴OQ的最小值为．故答案为：．垂径定理的应用19．（2022秋•泗洪县期中）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）cm．A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：设球心为O，过O点作CD⊥AB于D，交连接OB，设OB＝xcm，则OD＝（16﹣x）cm，BD＝AD＝8cm，在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，即：（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10．故选：B．20．（2022秋•盐都区期中）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，则拱桥的半径为（ ）A．9m B．10m C．12m D．13m【解答】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为rm，如图，连接OA、OD．则O、D、C三点共线，OD＝（r﹣8）m，∵CD是拱高，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝12（m），在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：r2＝122+（r﹣8）2，解得：r＝13，即拱桥的半径为13m，故选：D．21．（2022秋•高新区期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 m．【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径是rm，连接OA．根据垂径定理，得：AD＝AB＝10m，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝102+（r﹣5）2，解得：r＝12.5，即该拱桥的半径为12.5m，故答案为：12.5．22．（2022秋•盱眙县期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（ ）A．2 B．2.5 C．4 D．5【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，故选：C．23．（2022秋•东台市期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（ ）cmA．8 B．6 C．12 D．10【解答】解：设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于C，如图，由题意得：AB＝16cm，CE＝4cm，E为的中点，则OE⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8（cm），设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝AC2+OC2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即该球的半径是10cm．故选：D．24．（2022秋•靖江市期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一