专题03平抛运动一、有关平抛运动的速度公式：①分速度：；②合速度：；；二、有关平抛运动的位移公式：①分位移：；②合位移：；。③轨迹方程：。（轨迹是一个抛物线）④有关推论：推论1：；推论2：。在解有关于平抛运动的计算题时，首先应确定物体的抛出点和落点，画出物体的运动轨迹并标出已知量，一个轨迹的多个落点或者多个轨迹需要分别画出。其次要对要对平抛运动进行运动分解，在水平方向上，分解为匀速直线运动（，），在垂直方向上，可分解为自由落体运动（，）。然后根据①水平位移与竖直位移的联系，即：；②水平速度与竖直速度的联系，即：；③两角的关系：以及水平运动与竖直运动的等时性、题目中已知或隐含的几何关系列出方程求解即可。1.平抛运动的物体从高度为h的地方抛出，飞行时间：，只与竖直下落的高度有关。射程取决于竖直下落的高度和初速度。2.平抛运动中速度变化量的方向平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内速度变化量相等，且必沿竖直方（）如图所示。任意两时刻的速度与速度变化量构成直角三角形，沿竖直方向。平抛运动的速率并不随时间均匀变化，但速度随时间是均匀变化的。3.抛体运动的规律总结：当时，根据物体运动的初速度方向分类，①向上，物体做竖直上抛运动，为匀变速直线运动；②向下，物体做竖直下抛运动，为匀变速直线运动；③水平，物体做平抛运动，为匀变速曲线运动，通过对速度进行分解，化曲为直；④斜向上，物体做斜抛运动，为匀变速曲线运动，通过对位移进行分解，化曲为直。典例1：（2022·重庆·高考真题）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。【答案】（1）；（2）；（3），或，【规范答题】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知青蛙做平抛运动，设时间为，有联立解得，（2）设蛙和虫若同时开始运动时间均为，相遇时有解得则最小的位置坐标为而蛙和虫不同时刻出发时需要轨迹相切，青蛙的平抛运动有，可得轨迹方程为虫的轨迹方程为两轨迹相交，可得整理可知令，即解得虫在x轴上飞出的位置范围为（3）设蛙的运动时间为，有解得，而解得，而解得，典例2：（2022·北京·高考真题）体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，取重力加速度。不计空气阻力。求：（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离x；（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。【答案】（1）；（2），方向与水平方向夹角；（3）【规范答题】（1）设排球在空中飞行的时间为t，则解得；则排球在空中飞行的水平距离（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小得；根据得；设速度方向与水平方向夹角为（如答图所示）则有（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小典例3：（2022·广东·模拟）如图所示，小明在离水面高度的岸边，将一质量的小石片以水平初速度抛出，玩“打水漂”。小石片在水面上滑行时受到的水平阻力恒为，在水面上弹跳数次后沿水面的速度减为零，并以的加速度沿竖直方向沉入水深的河底。假设小石片每次均接触水面后跳起，跳起时竖直方向上的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数。取重力加速度，不计空气阻力。求小石片：（1）沉入河底前瞬间的速度大小；（2）从开始抛出到沉入河底前瞬间的整个过程中，水对小石片做的功W；（3）从抛出到开始下沉的时间t。【答案】（1）；（2）；（3）【规范答题】（1）小石片沉入河底时的速度解得（2）小石片从开始抛出到沉入河底前瞬间的整个过程，由动能定理解得（3）小石片先做平抛运动，竖直方向解得小石片在水面上滑行时加速度每次滑行的速度变化量而即小石片共在水面上滑行了10次，空中弹起后飞行了9次，第n次弹起后的水平速度竖直速度空中飞行时间可得第n次弹起后在空中飞行的时间为在空中的飞行总时间在水面上滑行的时间为总时间解得典例4：（2022·山东师范大学附中模拟）某同学在看完精彩的篮球比赛后，设计并制作了一个投篮玩具，如图所示。该玩具由斜面体、轻质弹簧和一个缩小的篮架组成，其中弹簧原长和斜面长度相同。把斜面体固定在水平地面上，弹簧下端与斜面体底部的固定挡板相连，上端与轻薄挡板相连。将一小球用力按压在弹簧上端的轻薄挡板上，使弹簧的压缩量为，松手后小球将沿斜面向上飞出。该同学进行了多次尝试，每次松手时小球都在同一位置，反复调节篮架与斜面体间的水平距离，直至小球能够斜向下、无碰触地穿过篮框中心。该玩具中的斜面与水平面夹角为60°，篮框平面到篮板上沿的距离是h=0.1m，小球可以看做质点。某次投篮中，小球穿过篮框中心时速度与水平方向的夹角的正切值为，小球到达最高点时恰好与篮板上沿等高。已知重力加速度为g=10m／s2，小球的质量为m=0.1kg，忽略一切摩擦，空气阻力不计，劲度系数为k的弹簧形变量为x时，具有弹性势能为。求：（1）斜面体右侧的竖直面与篮框中心间的水平距离；（2）弹簧的劲度系数为k。【答案】（1）；（2）【规范答题】（1）篮球从最高点到过篮框中心的过程中竖直方向有则球在空中运动水平分速度为小球在斜面抛出时竖直方向的速度为则小球从斜面抛出到过篮框中心的时间为所以斜面体右侧的竖直面与篮框中心间的水平距离（2）松手后到小球恰飞出斜面的过程由能量守恒可得又，解得1．（2022·河南安阳·模拟）如图所示，倾角为的斜面体ABC固定在高度为水平桌面上，斜面顶点C与桌面边缘D距离L=0.4m，Q为斜面上的一点，P是QC的中点。小滑块与斜面间动摩擦因数，与桌面间动摩擦因数。将小滑块从斜面上Р点由静止释放，刚好能够停在D点；再将小滑块从斜面上Q点由静止释放，小滑块越过D点做平抛运动落在水地面上。小滑块从斜面到桌面转折处机械能损失不计，，重力加速度g取。求：（1）斜面上点P与点C之间的距离；（2）小滑块做平抛运动的水平位移大小。【答案】（1）0.2m；（2）【规范答题】（1）设P、C两点之间的距离为，从P点到D点，因摩擦力做功产生的热量根据能量守恒解得（2）设从Q运动到D时的速度为v，由动能定理解得代入数据解得平抛运动竖直方向解得平抛运动竖直方向位移代入数据解得2．（2022·福建·模拟）北京2022年冬奥会自由式滑雪女子大跳台的比赛中，18岁的中国选手谷爱凌获得了中国女子雪上项目第一个冬奥会冠军。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、停止区组成，如图甲所示。在某次训练中，运动员经助滑道加速后自起跳点C以与水平方向成37°角的某一速度飞起，完成空中动作后，落在着陆坡上，已知运动员着陆时的速度方向与竖直方向夹角也为37°，测得运动员完成空中动作的时间为2.5s。然后运动员沿半径为R＝66m的圆弧轨道EF自由滑行通过最低点F，进入水平停止区后调整姿势减速滑行直到停止。在F点地面对运动员的支持力为其体重（含装备）的2倍，运动员与水平停止区的动摩擦因数μ随着滑行的位移x变化关系的图像如图乙所示，取g＝10m/s2，sin37＝0.6，忽略运动过程中的空气阻力。求：（1）运动员从起跳点C飞起时的速度大小；（2）运动员在水平停止区滑行的位移大小。【答案】（1）15m/s；（2）160m【规范答题】（1）对运动员由点到落地瞬间的速度进行正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，水平方向速度竖直方向速度上抛着陆时竖直方向分速度与点的竖直方向分速度方向相反，由于运动员着陆时的速度方向与竖直方向的夹角为也为37°，则有代入数值得（2）将运动员与装备看成一个质点，总质量为m，在点支持力与总重力的合力为圆周运动提供向心力，则有由图乙可知运动员到达点后，做匀减速直线运动，设运动员在水平停止区滑行的位移大小为L，由动能定理解得L=60m3．（2022·北京大兴精华学校三模）北京冬奥会报道中利用“AI＋8K”技术，把全新的“时间切片”特技效果首次运用在8K直播中，更精准清晰地抓拍运动员比赛精彩瞬间，给观众带来全新的视觉体验。“时间切片”是一种类似于多次“曝光”的呈现手法。如图所示为我国运动员谷爱凌在自由式滑雪女子大跳台比赛中第三跳的“时间切片”特技图。忽略空气阻力，将运动员看作质点，其轨迹abc段为抛物线。已知运动员质量为m，下落过程中c点的速度大小为v，最高点b与c点之间的高度差为h，重力加速度大小为g。求：（1）运动员从b点到c点的时间t；（2）运动员到达最高点b时的速度大小；（3）运动员从b点到c点的过程中动量变化量。【答案】（1）；（2）；（3），方向竖直向下【规范答题】（1）从b点到c点为平抛运动，有解得（2）b点到c点由动能定理有解得（3）根据动量定理可得解得方向竖直向下4．（2022·四川省资中县球溪高级中学模拟）如图，质量为m、电阻为2r的均匀金属棒ab垂直架在水平面甲内间距为2L的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径OM和O′P竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为2L，水平导轨间距分别为2L和L。质量也为m、电阻为r的均匀金属棒cd垂直架在间距为L的导轨左端。导轨MM′与PP′、NN′与QQ′均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度（未知，记为v0）做平抛运动，并在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：（1）金属棒ab做平抛运动的初速度v0；（2）金属棒ab做平抛运动恰好落在圆弧轨道上端时对圆弧轨道的压力；（3）若圆弧导轨区域内无磁场，其他部分磁场不变，从金属棒ab刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中金属棒ab上产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）；（3）【规范答题】（1）金属棒ab进入圆弧轨道时，分解速度有平抛运动中，竖直方向上有解得（2）根据ab棒在圆轨道上端的受力分析，由牛顿第二定律可得其中ab棒进入圆弧轨道时切割磁感线产生感应电动势为所以ab棒与cd棒构成的回路内电流为此时ab棒所受安培力大小为联立解得对圆弧轨道压力为由牛顿第三定律，对圆弧轨道压力为（3）若圆弧导轨区域内无磁场，金属棒ab滑至水平轨道时，有解得最终匀速运动时，电路中无电流，所以棒ab和棒cd产生的感应电动势相等，即此过程中，对棒ab由动量定理得对棒cd由动量定理得联立以上三式解得，该过程中整个回路产生的总焦耳热为金属棒ab上产生的焦耳热为解得5．（2022·江苏·南京师大附中模拟）将一只篮球在空中水平向右抛出，落地后又反弹。篮球的抛出点高度、两次落点的位置、第一次反弹后的高度等数据如图所示，已知该篮球质量为0.6kg，不计空气阻力，加速度g=10m/s2，求该篮球：（I）从抛出到第一次落地的时间t；（2）第一次落地时所受摩擦力的冲量I。【答案】（1）0.8s；（2）【规范答题】（1）篮球从抛出到第一次落地做平抛运动，由解得（2）第一次抛出的速度为，有解得第一次反弹后篮球做斜上抛运动，水平方向的速度为，由解得由动量定理，落地时所受摩擦力的冲量为6．（2022·北京市十一学校三模