专题7随机事件的概率例1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有（）A．0组 B．1组C．2组 D．3组【解析】①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件;故选:B.例2．设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为A，B，则下列说法正确的是（）A．与互斥 B．与互斥C． D．【解析】根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A+B)=P(A)+P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误.故选：C．例3．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率为的事件是（）A．恰有一个红球 B．两个小球都是白球C．至多有一个红球 D．至少有一个红球【解析】因为，所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．故选：C.例4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A． B． C． D．【解析】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.故选：A.例5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球【解析】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能的结果有：“两个黑球”，“一黑一红”，“两个红球”.“至少有一个黑球”包含事件：“两个黑球”，“一黑一红”，A中，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”是对立事件，不符合要求；B中，事件“至少有一个黑球”包含事件“都是黑球”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中，事件“至少有一个红球”包含事件：“两个红球”，“一黑一红”，两个事件都包含事件“一黑一红”，不是互斥事件；D中，“恰有1个黑球”表示事件“一黑一红”，与事件“恰有2个黑球”是互斥事件，但是不对立．故选：D.例6．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C．例7．抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是”为事件，“向上的点数是”为事件，则下列选项正确的是（）A．与是对立事件 B．与是互斥事件C． D．【解析】由题意知，为不可能事件，表示向上的点数是，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：B.例8．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（）A． B．C． D．【解析】由题意可知，能为型病人输血的有型和型，因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.故选：D.例9．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是（）A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件【解析】事件A，B，C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；A，B可能同时发生，故A，B不互斥，C选项正确，B与C既不是互斥事件也不是对立事件，D选项错误，因此选项A，B，D错，C正确.例10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为【解析】A.恰有一个白球的概率，故A正确；B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．故选：ABD.例11．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率（1）计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；（2）根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率.【解析】（1）贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.（2）根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.例12．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量，求随机变量的分布列．【解析】（1）记“甲出线”为事件，“乙出线”为事件，“丙出线”为事件，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件，则.（2）由题意可得，的所有可能取值为，，，，；；；；的分布列为：例13．移动公司在国庆期间推出套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠元，选择套餐2的客户可获得优惠元，选择套餐3的客户可获得优惠元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．【解析】（1）设事件为“从中任选人获得优惠金额不低于元”，则.（2）设事件为“从这人中选出人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的人中，获得优惠元的有人，获得优惠元的有人，获得优惠元的有人，分别记为：，，，，，，从中选出人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共个．其中使得事件B成立的有，，，，共4个．则.故这人获得相等优惠金额的概率为.例14．甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？【解析】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为故第3局甲队队员胜的概率为.则第3局乙队队员胜的概率为因为，故甲队队员获胜的概率更大一些．例15．某射手射击一次所得环数X的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.（1）求ξ＞7的概率；（2）求ξ的分布列．【解析】（1）P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.（2）ξ的可能取值为7，8，9，10.P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.∴ξ的分布列为X78910P0.010.240.390.36例16．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.（2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X=k）=（k=0，1，2，3）.所以随机变量X的分布列为X0123P②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由①知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以，事件A发生的概率为.例17．袋中有红球和白球若干(都多于2个)，从中任意取出两个小球，设恰有一个红球的概率为，没有红球的概率为，则至多有一个红球的概率为________．【解析】设“恰有一个红球”为事件A，“没有红球”为事件B，“至多有一个红球”为事件C，则,由互斥事件的概率公式可知.故答案为：例18．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是________．【解析】从口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是1－0.38－0.32＝0.3.故答案为：0.3例1