多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足lnx=yex+lny，则y-e-x的最大值为.2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅em=(n-1)ln(n-1)=t(tlnt>0)，则的最大值为.m(n-1)3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为.题型二判别式法11(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x=时，x+y取得最大值，该最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)在△ABC中，2cosA+3cosB=6cosC，则cosC的最大值为．22ax+b3(2023·高一课时练习)设非零实数a，b满足a+b=4，若函数y=存在最大值M和最小值m，则x2+1M-m=.211(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x,y满足(2xy-1)=(5y+2)(y-2)，则x+的最大值为2y．2(2023·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ=.题型三基本不等式法xy+yz1设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数fx,y,z=的最大值是.x2+y2+z2x-2y2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则的最5x2-2xy+2y2大值为.ab+bc3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则的最大值为．2a2+b2+c22题型四辅助角公式法1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．2y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．题型五柯西不等式法222221(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数ai，bi∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a1+a2+⋯+an=1，b1+b22+⋯+bn=1，则a1b1+a2b2+⋯+anbn最大值为()A.1B.2C.n2D.2n2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.2222223(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x+y+z=1，a+3b+6c=16，则x-a+y-b+z-c的最小值为.1(2023·全国·高三竞赛)已知x、y、z∈R+，且s=x+2+y+5+z+10，t=x+1+y+1+z+1，则s2-t2的最小值为.A.35B.410C.36D.4522222(2023·全国·高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且a+b+c-d+4=0.则3a+2b+c-4d的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-223题型六权方和不等式法111(2023·甘肃·高三校联考)已知x>0，y>0，且+=1，则x+2y的最小值为.2x+yy+1212已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则+的最小值是x+3yx-ya2b23已知a>1,b>1，则+的最小值是．b-1a-1122221已知x,y>0,+=1，则x+y的最小值是．xy题型七拉格朗日乘数法1x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值．2设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．题型八三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3，若f(3a2)+f(b2-1)=6，则a1+b2的最大值是2(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x2+xy+y2=1，则x2+xy+2y2的最小值为.4题型九构造齐次式2xyxy1(2023·江苏·高一专题练习)已知x>0，y>0，则+的最大值是.x2+8y2x2+2y23a12(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a,b>0，若a+2b=1，则+的最小值为bab()A.12B.23C.63D.822ab3(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a，b，c满足a-2ab+9b-c=0，则的最大值为c．题型十数形结合法21(2023·全国·高三专题练习)函数fx=x+ax+b(a，b∈R)在区间[0，c](c>0)上的最大值为M，则当M取最小值2时，a+b+c=xlnx,x>02(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数fx=，若x1≠x2且fx1=fx2，则x1-x22x+4e,x≤0的最大值为()15A.2e-B.2e+1C.5eD.ee2xlnx,x>03(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=，若x1≠x2且fx1=fx2，则x1-x2的最大x+1,x≤0值为()A.22B.2C.2D.1x,0≤x≤1,1(2023·江苏·高三专题练习)已知函数fx=若存在实数x1，x2满足0≤x1问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且|b|=2,|c|=3，则|a-b|+|a+b|+|a-c|的最小值是．b2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，|a|2=a⋅b，c⋅c-=0，2则|c-a|2+|c-b|2的最小值为.3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a，b满足a+b⋅b=0，a+4b=4，则a+b+b的最大值为．题型十二琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数fx的导函数fx存在导数，记fx的导数为fx．如x1+x2+⋅⋅⋅+xnf(x1)+f(x2)+⋅⋅⋅+f(xn)果对∀x∈a，b，都有fx<0，则fx有如下性质：f≥．nn*其中n∈N，x1，x2，⋯，xn∈a，b.若fx=sinx，则在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA+sinB+sinC的最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是．113(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a，b满足a+b=1，求a+b+的最小值．ab6