概率与统计的综合应用【题型归纳目录】题型一：决策问题题型二：道路通行问题题型三：保险问题题型四：概率最值问题题型五：放回与不放回问题题型六：体育比赛问题题型七：几何问题题型八：彩票问题题型九：纳税问题题型十：疾病问题题型十一：建议问题题型十二：概率与数列递推问题题型十三：硬币问题题型十四：自主选科问题题型十五：高尔顿板问题题型十六：自主招生问题题型十七：顺序排位问题题型十八：博彩问题【典例例题】题型一：决策问题例1.(2022·全国·高三专题练习)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(00)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．例2.(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为1，若该考生报考乙大学，每门科目达到优312秀的概率依次为，，n，其中0历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位(即纯度)检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为p0生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数012345次以上(含5次)下一年的保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据x,y(其中x(万元)表示购车价格，y(元)表示商业车险保费)：(8,2150)，(11,2400)，(18,3140)，(25,3750)，(25,4000)，(31,4560)，(37,5500)，(45,6500)．设由这8组数据得到的回归直线方程为y=bx+1055．(1)求b的值．(2)某车主蔡先生购买一辆价值20万元的新车．①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费．②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到4S店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议蔡先生自费(即不出险)，你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．(假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保)．变式4.(2022·全国·高三专题练习)2017年泰康集团成立.泰康集团成立后，保险、资管、医养三大业务蓬勃发展.为了回馈社会，2021年初推出某款住院险.每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年内住院，只要住院费超过104元，则可以获得104元的赔偿金.假定2021年有105人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.记投保的105人中出险的人数为ξ.投保的105人在一年度内至少有一人出险的概率为1-0.9997105.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为105元，保险公司该项业务的利润为η，为保证该项业务利润的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).题型四：概率最值问题例10.(2022·全国·高三专题练习)《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响.若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为P1,P2.21(1)若P=,P=，则在第一轮竞赛中，求该组获“优秀小组”的概率；13224(2)当P+P=时，求该组在每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率的最大值.123例11.(2022·重庆八中高三开学考试)某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，1已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0学生.若从中随机抽取nn∈N*,n≤20名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.(1)若n=2，求X的分布列与数学期望；(2)当n为何值时，X=1的概率取得最大值?最大值是多少?变式5.(20