高中数学常用公式及常用结论1.包含关系ABAABBABCUBCUAACUBCUABR．集合的子集个数共有n个；真子集有n个；非空子集有n个；非空的真子集有2{a1,a2,,an}2212–12n–2个.3.充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充⇒分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇏pp是q的充要条件⇏pq⇒p是q的既不充分也不必要条件pq⇔且qp⇏⇏4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定对M中任意一个x，全称命题x∈M，p(x)x0∈M，綈p(x0)有p(x)成立∀∃存在M中的一个x0，特称命题x0∈M，p(x0)x∈M，綈p(x)使p(x0)成立∃∀5.函数的单调性设那么(1)x1x2a,b,x1x2f(x)f(x)12在上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)a,bx1x2f(x)f(x)12在上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)a,b.x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.6.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.7．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．8.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).ab9.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x;两个函2ab数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.2a10.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函数2yf(x)为周期为2a的周期函数.11.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).ab(2)函数yf(x)的图象关于直线x对称2f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).12.几个常见的函数方程正比例函数指数函数x对数函数幂函数(1)f(x)cx(2)f(x)a(3)f(x)logax(4)f(x)x,.(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx13.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；11（2）f(x)f(xa)，或f(xa)(f(x)0)，或f(xa)(f(x)0),则f(x)的周f(x)f(x)期T=2a；1(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)14.分数指数幂mm11(1)an（a0,m,nN，且n1）.(2)an（a0,m,nN，且n1）.nmmaan15．根式的性质a,a0（1）(na)na.（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|.a,a016.指数式与对数式的互化式blogaNbaN(a0,a1,N0).17.对数的换底公式logNm且且logaN(a0,a1,m0,m1,N0).logmann推论logmblogb(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).ama18．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则M(1)log(MN)logMlogN;(2)loglogMlogN;(3)logMnnlogM(nR).aaaaNaaaa设函数2记2若的定义域为则，且19.f(x)logm(axbxc)(a0),b4ac.f(x)R,a00;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.20.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.21.数列的同项公式与前n项的和的关系s,n11数列的前项的和为an({an}nsna1a2an).snsn1,n2等差数列的通项公式*；22.ana1(n1)ddna1d(nN)d1n2(ad)n212n(aa)n(n1)其前n项和公式为s1nnadn212a23.等比数列的通项公式aaqn11qn(nN*)；n1qa(1qn)aaq1,q11n,q1其前项的和公式为或nsn1qsn1q.na1,q1na1,q124．常见三角不等式（1）若x(0,)，则sinxxtanx.(2)若x(0,)，则1sinxcosx2.2225.同角三角函数的基本关系式sinsin2cos21，tan=cos26.正弦、余弦的诱导公式公式一二三四五六ππ角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α22正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限27.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan().1tantanbasinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan).a28.二倍角公式sin22sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2（升幂公式）1＋cos2α1－cos2αcos2α＝；sin2α＝；(降幂公式）222tantan2.1tan229.三角函数的周期公式函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期2T；函数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.230.正弦定理abc2R.sinAsinBsinC31.余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.32.面积定理111（1）Sahbhch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.2a2b2cabc111（2）SabsinCbcsinAcasinB.22233.三角形内角和定理CAB在ABC中，有ABCC(AB)2C22(AB).22234.平面△向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．35.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．36.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．37.平面向量的坐标运算设，则(1)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=(x1x2,y1y2).设，则(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a-b=(x1x2,y1y2).设，则(3)A(x1,y1)B(x2,y2),ABOBOA(x2x1,y2y1).(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).设，则(5)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a·b=(x1x2y1y2).两向量的夹角公式xxyycos1212(a=(x,y),b=(x,y)).22221122x1y1x2y2平面两点间的距离公式dA,B=|AB|ABAB22，(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)B(x2,y2)).向量的平行与垂直设，且，则a=(x1,y1),b=(x2,y2)b0a||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.38.三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心的坐标是x△xxyyy△G(123,123).3339.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则222（1）O为ABC的外心OAOBOC.（2）O为ABC的重心OAOBOC0.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.40.基本不等式：（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．ab（2）a,bRab(当且仅当a＝b时取“=”号)．2注：已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；1（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s2.441.含有绝对值的不等式当a>0时，有2xax2aaxa.xax2a2xa或xa.42.指数不等式与对数不等式(1)当a1时：af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)当0a1时：af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)43..斜率公式yy21（、）kP1(x1,y1)P2(x2,y2).x2x144.直线的五种方程（）点斜式直线过点，且斜率为．1yy1k(xx1)(lP1(x1,y1)k)（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).yyxx（）两点式11、3(y1y2)(P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).45.两条直线的平行和垂直若，(1)l1:yk1xb1l2:yk2xb2①②l1||l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21.若且、、、都不为零(2)l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B2,ABC①111；②；l1||l2l1l2A1A2B1B20A2B2C246．常用直线系方程(1)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．(2)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量．47.点到直线的距离|AxByC|00点直线：d(P(x0,y0),lAxByC0).A2