2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）姓名成绩一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1、设集合，集合，则（）2、设向量与向量共线，则实数（）3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）抽签法系统抽样法分层抽样法随机数法4、设为正实数，则是的（）充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）是否开始结束K=k+1K=1k>4?输出S6、执行如图所示程序框图，输出的值为（）7、过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则（）8、某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）。若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是小时小时小时小时9、设实数满足则的最大值为（）10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切与点.且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值范围是（）二、填空题：11、设是虚数单位，则。12、的值是。13、已知，则的值是。14、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为的正方形，俯视图是直角边为的等腰直角三角形，设分别是棱中点，则三棱锥的体积是。15、已知函数（其中），对于不相等的实数，设，，则现有如下命题：①对于任意不等的实数，都有；②对于任意的及任意不相等的实数，都有；③对于任意的，存在不相等的实数，使得；④对于任意的，存在不相等的实数，使得。其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）三、解答题：16、（本小题满分12分）设数列的前项和，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求。17、（本小题满分12分）一辆小客车上有5各座位，其座位号为，乘客的座位号分别为，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。（1）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表格空格处）；（2）若乘客坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客做到5号座位的概率。乘客座位号321453245118、（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线平面。HFBEGCD19、（本小题满分12分）已知为的内角，是关于的方程的两实根。（1）求的大小；（2）若，求的值。20、（本小题满分13分）如图，椭圆E：（>>0）的离心率是，点（0,1）在短轴CD上，且（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。CDBAxyO21、（本小题满分14分）已知函数，其中。（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查． 2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（ ） A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn． 3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．菁优网版权所有专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题． 4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（ ） A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题． 5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+） C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力． 6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ） A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ） A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ） A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，eb=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=eb=192当x=33时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解． 9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ） A．B．C．12D．16考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣= 2i ．考点：复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．