2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．52．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）A．0.01 B．0.1 C．1 D．104．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．695．已知sinθ+sin（）＝1，则sin（）＝（ ）A． B． C． D．6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若＝1，则点C的轨迹为（ ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线7．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）8．点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．29．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+210．设a＝log32，b＝log53，c＝，则（ ）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．在△ABC中，cosC═，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）A． B．2 C．4 D．812．已知函数f（x）＝sinx+，则（ ）A．f（x）的最小值为2 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的图象关于直线x＝对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为 ．14．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为 ．15．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝ ．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；（2）点C1在平面AEF内．20．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．21．已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：B．2．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．解：由（1+i）＝1﹣i，得，∴z＝i．故选：D．3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．解：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为：100×0.01＝1，故选：C．4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故选：C．5．已知sinθ+sin（）＝1，则sin（）＝（ ）A． B． C． D．【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．解：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，即sinθ+cosθ＝1，得（cosθ+sinθ）＝1，即sin（）＝1，得sin（）＝故选：B．6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若＝1，则点C的轨迹为（ ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点，不妨设A（﹣a，0），B（a，0），设C（x，y），因为＝1，所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1，解得x2+y2＝a2+1，所以点C的轨迹为圆．故选：A．7．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过kOD•kOE＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．解：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2，OD⊥OE，可得kOD•kOE＝﹣1，即，解得p＝1，所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（，0）．故选：B．8．点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．解：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝＝＝；∵要求距离的最大值，故需k＞0；可得d≤＝；当k＝1时等号成立；故选：B．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，故PB＝BC＝PC＝2，几何体的表面积为：3×＝6+2故选：C．10．设a＝log32，b＝log53，c＝，则（ ）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵a＝log32＝＜＝，b＝log53＝＞＝，c＝，∴a＜c＜b．故选：A．11．在△ABC中，cosC═，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）A． B．2 C．4 D．8【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得A＝C，利用三角形的内角和定理可求B＝π﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值．解：∵cosC═，AC＝4，BC＝3，∴tanC＝＝，∴AB＝＝＝3，可得A＝C，∴B＝π﹣2C，则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝＝＝4．故选：C．12．已知函数f（x）＝sinx+，则（ ）A．f（x）的最小值为2 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，y≥2或y≤﹣2，故可判断A；根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以判断C，D的正误．解：由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称；设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2或y≤﹣2，故A错误；又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sinx+）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；f（π+x）＝sin（π+x）+＝﹣sinx﹣；f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝sinx+，故f（π+x）≠f（π﹣x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，C错误；又f（+x）＝sin（+x）+＝cosx+；f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝cosx+，故f（+x）＝f（﹣x），定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f（x）的图象关于直线x＝对称；D正确；故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为 7 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．解：先根据约束条件画出可行域，由解得A（1，2），如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，即当x＝1，y＝2时，zmax＝3×1+2×2＝7．故答案为：7．14．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为 ．【分析】由双曲线的方程求出