2024—2025学年北京市新高三入学定位考试本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B）（C） （D）（2）已知复数满足，则（A） （B）（C） （D）（3）已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（A） （B）（C）3 （D）（4）在的展开式中，常数项为（A） （B）（C） （D）（5）已知等比数列满足，，则的公比为（A）或 （B）或（C）或 （D）或（6）已知函数.若时，取得最大值，则的值可能是（A） （B）（C） （D）（7）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，则点到直线的距离为（A） （B）（C） （D）（8）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（A） （B）（C） （D）（9）已知单位向量，则“”是“任意都有”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称是一个“好子集”．下列结论正确的是（A）一个“好子集”中最多有个元素 （B）一个“好子集”中最多有个元素（C）一个“好子集”中最多有个元素 （D）一个“好子集”中最多有个元素第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为________．（12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则_______；_______．（13）已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________．（14）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________，________．（15）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论：①线段长度的最大值为；②存在点，使得；③存在点，使得；④△EPF是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（17）（本小题13分）已知为锐角三角形，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的周长．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示.假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率.（Ⅰ）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率；（Ⅱ）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.（19）（本小题15分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左焦点为点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标.（20）（本小题15分）已知函数，直线是曲线在点处的切线．（Ⅰ）当时，求直线的倾斜角；（Ⅱ）求证：除切点之外，曲线在直线的上方；（Ⅲ）若函数在上单调递增，求的取值范围.（21）（本小题15分）已知数列满足，其中.（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求证：不是单调递增数列；（Ⅲ）是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）