2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，文1，5分】设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，所以，故选D．【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题．（2）【2013年安徽，文2，5分】知，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，，，故选A．【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题．（3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】；；；，输出，故选C．【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题．（4）【2013年安徽，文4，5分】“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故选B．【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题．（5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（） （A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率，故选D．【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题．（6）【2013年安徽，文6，5分】直线被圆截得的弦长为（）（A）1（B）2（C）4（D）【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以弦长为，故选C．【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题．（7）【2013年安徽，文7，5分】设为等差数列的前项和，，则（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】，，，，故选A．【点评】考查等差数列通项公式和前项公式的应用，以及数列基本量的求解．（8）【2013年安徽，文8，5分】函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】表示到原点的斜率；表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B．【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识．（9）【2013年安徽，文9，5分】设的内角所对边的长分别为，若，则角（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由正弦定理，所以；因为，所以，，所以，故选B．【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度．（10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A．【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，文11，5分】函数的定义域为．【答案】【解析】，求交集之后得的取值范围．【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0．（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量满足约束条件，则的最大值为．【答案】【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过时，，取得最大值．【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时取最大．（13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量满足，则夹角的余弦值为．【答案】【解析】等式平方得：则，即，得．【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简．（14）【2013年安徽，文14，5分】定义在上的函数满足．若当时．，则当时，．【答案】【解析】当，则，故，又，所以．【点评】考查抽象函数解析式的求解．（15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为．【答案】①②③⑤【解析】（1），等腰梯形，②正确，图（1）如下；（2），是菱形，面积为，⑤正确，图（2）如下；（3），画图（3）如下：，③正确；（4），如图（4）是五边形，④不正确；（5），如下图（5），是四边形，故①正确．图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数．（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到．解：（1），当时，，此时，，所以，的最小值为，此时的集合．（2）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；然后向左平移个单位，得．【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度．（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙753325543331008662211007544220456789533806911223350022233669115580（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值．解：（1）设甲校高三年级学生总人数为．由题意知，，即．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5．据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为．（2）设甲、乙两校样本平均数分别为，．根据样本茎叶图可知，．因此．故的估计值为0.5分．【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力．（18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知．（1）证明：；（2）若为的中点，求三菱锥的体积．解：（1）连接，交于点，连接．因为底面是菱形，，．由知，．再由知，面，因此．（2）因为是的中点，所以．由知，．因为，所以，，．又，，即，故．由（1）知，面，因此．【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力．（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列满足，，且对任意，函数满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由，，，，，所以是等差数列．而，，，．（2），．【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和运算能力．（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数，其中，区间．（1）求的长度（注：区间的长度定义为；（2）给定常数，当时，求长度的最小值．解：（1）因为方程有两个实根，，故的解集为，因此区间，区间长度为．（2）设，则，令，得．由于，当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此当时，的最小值必定在或处取得．而，故．因此当时，在区间上取得最小值．【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆的焦距为4，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由．解：（1）因为焦距为4，所以．又因为椭圆过点，所以，故，，从而椭圆的方程为．（2）由题意，点坐标为．设，则，．再由知，，即．由于，故．因为点是点关于轴的对称点，所以点．故直线的斜率．又因在上，所以①从而．故直线的方程为②将②代入C方程，得．③再将①代入③，化简得．解得，，即直线与椭圆一定有唯一的公共点．【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力．