2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】设是虚数单位，是复数的共轭复数．若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】设，则由得，即，所以，，所以，，即，故选A．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】开始，，；返回，，，；返回，，，；返回，不成立，输出，故选D．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是公理的是（）（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理，故选A．（4）【2013年安徽，理4，5分】“”是“函数在区间内单调递增”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数的图象有以下三种情形： 由图象可知在区间内单调递增时，，故选C．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（） （A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错；对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错；对C选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C选项正确；对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D选项错，故选C．解法二：五名男生成绩的平均数为，五名女生成绩的平均数为，五名男生成绩的方差为，五名女生成绩的方差为，所以，故选C．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由题意知，所以，故选D．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意可知，圆可化为普通方程为．所以圆的垂直于轴的两条切线方程分别为和，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为和，故选B．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】可化为，故上式可理解为图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即可看成过原点的直线与的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为，②为，③为，故选B．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】以，为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使，两点关于轴对称，由已知，可得出，点，点，点，现设，则由得，即，由于，，可得，画出动点满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【解析】由得，或，即的根为或的解．如图所示由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3，故选A．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是．【答案】【解析】∵的通项为，∴，解得．∴，得．（12）【2013年安徽，理12，5分】设的内角，，所对边的长分别为，，．若，，则角．【答案】【解析】∵，∴．①又∵，②∴由①②可得，，，∴，∴．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线交抛物线于，两点．若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为．【答案】【解析】如图，设，，，则，．∵，∴，即，，∴，∴．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等．设．若，，则数列的通项公式是．【答案】【解析】设，∵，，，∴，．又易知，∴．∴．∵所有梯形的面积均相等，且，∴．∴，∴．（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；③当时，与的交点满足；④当时，为六边形；⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤【解析】当时，，，所以，又因为，所以②正确；当时，截面为，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当时，由得，即，，故③正确；如图（3）所示，当时，截面为五边形，所以④错误；当时，截面为，可知，，且四边形为菱形，四边形，故⑤正确．图（1）图（2）图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）讨论f(x)在区间上的单调性．解：（1）．因为的最小正周期为，且，从而有，故．（2）由（1）知，．若，则．当即时，单调递增；当即时，单调递减．综上可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数，其中，区间．（1）求的长度(注：区间的长度定义为；（2）给定常数，当时，求长度的最小值．解：（1）因为方程有两个实根，，故的解集为．因此区间，的长度为．（2）设，则．令，得．，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，的最小值必定在或处取得．而，故．因此当时，在区间上取得最小值．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E：的焦点在轴上．（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且．证明：当变化时，点在某定直线上．解：（1）因为焦距为1，所以，解得．故椭圆的方程为．（2）设，，，其中．由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，故直线的方程为．当时，，即点坐标为．因此，直线的斜率为．由于，所以．化简得．①将①代入方程，由于点在第一象限，解得，，即点在定直线上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为．（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求．解：（1）设面与面的交线为．，不在面内，所以面．又因为面，面与面的交线为，所以．由直线在底面上而在底面外可知，与底面平行．（2）设CD的中点为．连接，．由圆的性质，，．因为底面，底面，所以．又，故面．又面，因此面面．从而直线在面上的射影为直线，故为与面所成的角．．设，则．根据题设有，得．由和，得，因此．在中，，故．（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数．证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对任意，由（1）中构成的数列满足．解：（1）对每个，当时，，故在内单调递增．由于，当时，，故．又，所以存在唯一的，满足．（2）当时，，故．由在内单调递增知，，故为单调递减数列，从而对任意，．对任意，由于，①．②①式减去②式并移项，利用，得．因此，对任意，都有．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加(和都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为．（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整数．解：（1）因为事件：“学生甲收到李老师所发信息”与事件：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于，故，因此学生甲收到活动通知信息的概率．（2）当时，只能取，有．当时，整数满足，其中是和中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为．当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为．仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为．由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为．此时．当时，≤．假如成立，则当能被整除时，．故在和处达最大值；当不能被整除时，在处达最大值．(注：表示不超过的最大整数)，下面证明．因为，所以．而，故．显然．因此．