萍乡市2023－2024学年度高三二模考试数学参考答案及评分标准一、选择题（8×5=40分）1-4：BDCA；5-8：BCDD.AM51BM3551AM51【7解析】若，则，即点M为线段AB2MA512AB2ABAB的黄金分割点；当a0时，1，不存在使点B为线段AC的黄金分割点，故选BCABAB项A,C错误；如下图，当a1时，0，当a1时，，则BCBCABAB510,，则存在一个a1,1使得，故选项B错；对于选项D，若BC0BC2ysinx与ya(1a1)相交于相邻的三点A,B,C，其横坐标分别为，则ABx2x1，将变换成后，点x1,x2,x3(x1x2x3)ysinxysin(x)A,B,CACx3x1xxx分别对应到点A',B',C'，且满足x'1,x'2,x'3，故123A'B'x'x'xxABAB2121，即,对比值无影响，故选项D正确.A'C'x3'x1'x3x1ACAC【8解析】因为是的一个旁心，则平分，则F2MMQ；又QPF1F2F2QPF2M3F2PQP平分的外角，则PF1F1M，则PF1PF2F1MMF2，即2a2c，PMF1PF2PF2MF2PF2MF2PF2MF2cMFb则23，则2，即双曲线的渐近线方程为y2x.aPF2a二、选择题（3×6=18分）9：BCD；10：AD；11：ABD.【说明：第9、11题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分；第10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分.】【11解析】因为MF2OF，则O平分线段MF，又BN2ON，则O平分线段BN，则四边形BMNF为平行四边形，故A对；因为四边形BMNF为平行四边形，所以MNBF，5{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}11211又1，故1，故B对；当ABx轴时，根据对称性，P在y轴AFBFpAFMN上，此时OPOF0，故C错；设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为l过焦点F，则y1y24，则yy4y4y4yy216y4yy216ykk12121212120，则MAMB2222x11x21y14y24y14y14AMOBMO，又NBMBMO，则NFMAMO，即PMF为等腰三角形，且y轴为MF的垂直平分线，故P必在y轴上.此外，MNAB，1则SS，则SSMFOPOP，AMNFMNANPFMP2当MA与抛物线C相切时，OP取得最大值1，即SANP的最大值为1，故D对.11315224三、填空题（3×5=15分）12：；13：1；；14：,.721633【说明：第13题全部做对得5分，做对1空得3分.】四、解答题（共77分）115.（1）fxx2lnx1，令fx0，解得xe2，……………………………(2分)1当x(0,e2)时，fx0，fx单调递减；1当x(e2,)时，f(x)0，fx单调递增，…………………………………………(4分)11则fx的单调递减区间为(0,e2)，单调递增区间为(e2,)；………………………(6分)（2）依题意，存在x0，使得axlnx，………………………………………………(7分)令g(x)xlnx，则g(x)lnx1，………………………………………………………(8分)1当x(0,)时，g(x)0，g(x)单调递减；e1当x(,)时，g(x)0，g(x)单调递增，…………………………………………(11分)e111故g(x)g()，因此a.……………………………………………………(13分)mineee616.（1）1(91644164149)0.8；………………………(5分)15224（2）X的值可能为0,1,2,3，………………………………………………………………(7分)6{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}C32C1C2205，105，…………………………………………(9分)P(X0)3P(X1)3C1591C1591C2C145C324105，10，………………………………………(11分)P(X2)3P(X3)3C1591C1591则X的分布列为：…………………………………………………………………………(13分)X01232204524P91919191204524故X的数学期望为E(X)1232.…………………………………(15分)9191911π317.（1）由题知AB2，在MBO中，OB1,MB,MBO，求得OM，则232BM2+OM2BO2，ABOM，…………………………………………………………(3分)π又BOP，AOOP,OAOBO，故OP平面AOB，所以OPAB，……(4分)2OPOMO，AB平面MOP；………………………………………………………(5分)（2）①设BOP,AOBO,AOOP，则二面角BAOP的平面角即为，…(6分)13在OB上取点N，使ON3NB，连接MN，MN//OA，MNOA，44133四棱锥MOCPB的体积VSS，其中S表示四边形OCPB的面积，则34121121131SOPOBsinOPOCsinsincossin2232222333sincossin，…………………………………………………(8分)44263325由V，可得sin，0，则，故166236662，解得,，即二面角BAOP的取值范围为,；…(10分)3636262②以OB方向x轴正方向，在BOC内垂直于OB的方向为y轴正方向，OA方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0,0,3)，B(1,0,0)，P(cos,sin,0)，…………………………………………………………………………(12分)1AP(cos,sin,3)，OB(1,0,0)，coscosAP,OBcos，……(13分)27{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}33,，cos0,，即cos的最大值为.……………………………(15分)6224c2c2a2b2118.（1）依题意e，则，因此a22b2，……………………(2分)a2a2a22设，，联立与的方程得22，…………(3分)AB:yxA(x1,y1),B(x1,y1)ABE3x12b又2，即2，…………………………………………………(4分)|AB|1(1)|2x1|4x12y2x2故b23,a26，即椭圆E的标准方程为E：1；………………………………(6分)63（2）设，可知的斜率存在，设为，则【解法1】A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)PAky33，的方程为，联立与的方程，整理得k(x30)PAykx3PAEx3(k22)x26kx30，……………………………………………………………………(7分)333x3xx，则333，…(8分)x1x32x122222k2(k2)x3(y33)2x3y32x36y3952y3125yx125y又3，故33，……………………………………(9分)y1kx13A(,)52y352y352y3x125y同理可得B(4,4)，易知CD的斜率不为0，设CD的方程为xmyn，则52y452y4x4x3(my4n)(52y3)(my3n)(52y4)(5m2n)(y3y4)x2x152y452y3(52y4)(52y3)(52y4)(52y3)………………………………………………………………………………………………(11分)125y125yyy4334，……………………………………(12分)y2y152y452y3(52y4)(52y3)yyyy又2134，则，…………………………(13分)kAB12n5m1x2x1(5m2n)(y3y4)15对比CD的方程可知，直线CD恒过定点Q(,)，……………………………………(14分)2221252设点P到直线CD的距离为d，则d|PQ|(0)3，…………(16分)2222当且仅当PQCD时，点P到直线CD的距离取到最大值.………………………(17分)28{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}（2）设，，【解法2】A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)APPC,BPPDxxyy则013,313......①，……………………………………………………(7分)11y2x2y2x22y22x2又111,331，即332，6363631yyyy1xxxx作差整理得(13)(13)(13)(13)1，…………………………(8分)611311yy结合①，解得131......②，……………………………………………………(9分)2(1)551由①②，解得y,y......③，………………………………………(11分)122322551同理可得，xx0,y,y......④，…………………………(12分)24222322可知CD的斜率不为0，设CD的方程为xmyn，结合①③④可得：yyyyyy121212，则kAB1x1x2x3x4(my3n)(my4n)(5m2n)()2n5m1，………………………………………………………………………………(13分)15对比CD的方程可知，直线CD恒过定点Q(,)，……………………………………(14分)2221252设点P到直线CD的距离为d，则d|PQ|(0)3，…………(16分)2222当且仅当PQCD时，点P到直线CD的距离取到最大值.………………………(17分)2（2）【解法3】由题可设如下直线方程：PA:(y3)k1x0，PB:(y3)k2x0，AB:(y3)xt0(t0)，CD:m(y3)xn0(n0)，则过A,B,C,D四点的曲线系方程为：[(y3)k1x][(y3)k2x][(y3)xt][m(y3)xn]0，……(9分)则x项的系数为nt，(y3)项的系数为ntm，常数项为tn，……………………(10分)又椭圆E的方程可写为：2x2(y3)26(y3)30，……………………………(11分)nt0m151对比系数可知：ntm，解得n，