准考证号姓名绝密★启用前（在此卷上答题无效）萍乡市2023－2024学年度高三二模考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合Ax1x2，Bx2xm，若xB的充分条件是xA，则实数m的取值范围是A．1,2B．2,C．2,2D．2,2.复数z(23i)(32i)，下列说法正确的是A．z的实部为12B．z的虚部为13iC．z1213iD．z133.已知随机变量~N2,9，且P1Pa2，则aA．3B．2C．1D．04.已知a2，b(1,2)，a2b2，则向量a与b的夹角为ππ2π5πA．B．C．D．63365.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为43，则该陀螺的体积为A．48πB．56πC．64πD．72πln212ln26.已知a,b,c，则这三个数的大小关系为42ee2A．cbaB．abcC．acbD．cab1{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}AMBM517.点M将一条线段AB分为两段AM和MB，若，则称点M为线段ABMA2AB的黄金分割点.已知直线ya(1a1)与函数ysin(x)的图象相交，A,B,C为相邻的三个交点，则A．当a0时，存在使点B为线段AC的黄金分割点B．对于给定的常数，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点C．对于任意的a，存在使点B为线段AC的黄金分割点D．对于任意的，存在a使点B为线段AC的黄金分割点8.如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有x2y2三个旁心.如图2，已知F1,F2是双曲线1a0,b0的左、a2b2右焦点，P是双曲线右支上一点，Q是PF1F2的一个旁心.直线PQ与MQx轴交于点M，若3，则该双曲线的渐近线方程为QP1A．yxB．y2x22C．yxD．y2x2二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．2a,n为奇数n*9.数列an(nN)的前n项和为Sn，若a11，an11，则下列结论正确,n为偶数an的是A．a32B．S1012C．Sn为递增数列D．a2n1为周期数列10.已知2a5b10，则下列关系正确的是ab1212A．e1B．ababC．a4b9D．(1)(2)8ab11.设O为坐标原点，直线l过抛物线C:y24x的焦点F且与C交于A,B两点，M,N满足MF2OF，BN2ON，AM与NF相交于点P，则下列结论正确的是11A．ABMNB．1MNAFC．OPOF0D．ANP面积的最大值为12{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}萍乡市2023－2024学年度高三二模考试试卷数学第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为.13.在ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，BC3BD，AC2AE，若AD,BE交于BI点I，则；当BC3,AC4,AB2时，ABI的面积为.IE14.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为该正方体侧面CC1D1D内的动点（含边界），若PA,PB分别与直线AD所成角的正切值之和为2，则四棱锥PABCD的体积的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数f(x)x2lnx.（1）求f(x)的单调区间；（2）若存在x0，使得f(x)ax成立，求实数a的取值范围.16.（本小题满分15分）定义两组数据ui,vii1,2,,n的“斯皮尔曼系数”为变量ui在该组数据中的排名xi和变量vi在该组数据中的排名yi的样本相关系数，记为，其中6n1(xy)2.2iinn1i1某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：数学成绩的排名xi123456789101112131415知识竞赛成绩的排名yi153498761021214131115（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有X人，试求X的分布列和数学期望.3{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}17.（本小题满分15分）如图所示的几何体是圆锥的一部分，A为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，2πBOC，P是弧BC上一动点（不与B,C重合），点M在AB上，且AM3MB，3OA3OB3．π（1）当BOP时，证明：AB平面MOP；23（2）若四棱锥MOCPB的体积大于等于.16①求二面角BAOP的取值范围；②记异面直线AP与BO所成的角为，求cos的最大值．18.（本小题满分17分）y2x22已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，A,B是E上的不同两点，且直线a2b22AB的斜率为1，当直线AB过原点时，AB4.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设P(0,3)，点A,B都不在y轴上，连接PA,PB，分别交E于C,D两点，求点P到直线CD的距离的最大值.19.（本小题满分17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等xxc(ecec)得出悬链线的方程为y，其中c为参数.当c1时，该表达式就是双曲余弦函2exex数，记为coshx，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等2(sinx)cosx工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：(cosx)sinxexexcos2x2cos2x1；③平方关系：sin2xcos2x1.定义双曲正弦函数为sinhx．2（1）写出sinhx，coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；（2）任意x0，恒有sinhxkx0成立，求实数k的取值范围；（3）正项数列满足，2，是否存在实数，使得annNa1a1an12an1a17a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.202484{#{QQABBQAAggAIAJAAABhCAQngCkKQkBGCACoGBEAEoAIBSAFABAA=}#}