蚌埠市２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题 号１２３４５６７８答 案ＡＤＡＢＣＢＣＢ二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。题 号９１０１１答 案ＡＢＣＢＣＡＢＤ三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。１２（０，１）１３０或４；（２－槡２，２＋槡２）∪｛４｝（答对第一空给２分，答对第二空给３分）１４１四、解答题：本题共５个小题，共７７分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。１５（１３分）ｂ解：（１）由题意知ａ＝１，且＝１，∴ｂ＝１，………………………………………………２分ａ２２∴ｃ＝槡ａ＋ｂ＝槡２，ｃ所以双曲线的离心率ｅ＝＝２………………………………………………５分ａ槡（２）由（１）知双曲线方程为ｘ２－ｙ２＝１，１１将ｙ＝ｘ－即ｘ－１＝２ｙ代入ｘ２－ｙ２＝１，得３ｙ２＋４ｙ＝０，…………………９分２２４因而ｙ＝０，ｙ＝－，１２３４所以｜ＰＱ｜＝１＋２２·ｙ－ｙ＝５………………………………………１３分槡１２３槡１６（１５分）解：（１）依题意，ｐ１＝１，ｐ２＝０５，ｐ３＝ｐ２×０５＋（１－ｐ２）×（１－０４）＝０６－０１ｐ２＝０５５……………………６分依题意ｐｎ＝ｐｎ－１×０５＋（１－ｐｎ－１）×（１－０４）＝０６－０１ｐｎ－１６１６６５整理得ｐ－＝－ｐ－，又ｐ－＝≠０，ｎ１１１０(ｎ－１１１)１１１１１蚌埠市高三年级数学参考答案第１页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}６５１所以ｐ－是首项为，公比为－的等比数列…………………………９分{ｎ１１}１１１０５１ｎ－１６（２）由（１），寒假第ｎ天不下雪的概率ｐ＝－＋，……………………１１分ｎ１１(１０)１１从而小明寒假第ｎ天跑步的概率为２３２１ｎ－１ｑ＝ｐ×０６＋（１－ｐ）×０２＝０２＋０４ｐ＝＋－，……………１３分ｎｎｎｎ５５１１(１０)则他第ｎ天通过运动锻炼消耗能量为１３３０ｑ＋２２０（１－ｑ）＝２２０＋１１０ｑ＝２６６＋２０（－）ｎ－１……………………１５分ｎｎｎ１０１７（１５分）解：（１）由题意知ＡＤ＝ＢＣ＝ＰＡ＝２，则在△ＡＢＣ中，ＡＢ２＋ＢＣ２－ＡＣ２４２＋２２－（２７）２１ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝＝槡＝－，２ＡＢ·ＢＣ２×４×２２２ππ∵∠ＡＢＣ∈（０，π）∴∠ＡＢＣ＝，从而∠ＤＡＢ＝，……………………………３分３３２２２π２２１△ＡＢＤ中，ＢＤ＝ＡＤ＋ＡＢ－２ＡＤ·ＡＢ·ｃｏｓ＝２＋４－２×２×４×＝１２，３２则ＢＤ２＋ＡＤ２＝１２＋４＝１６＝ＡＢ２∴ＢＤ⊥ＡＤ，………………………………………………………………………５分又ＢＤ⊥ＡＥ，ＡＤ∩ＡＥ＝Ａ，所以ＢＤ⊥平面ＰＡＤ，而ＢＤ平面ＡＢＣＤ，∴平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ………………………………………………………８分（２）由（１）知ＢＤ⊥平面ＰＡＤ，ＰＤ平面ＰＡＤ，∴ＢＤ⊥ＰＤ，∴ＰＤ＝槡ＰＢ２－ＢＤ２＝２，所以△ＰＡＤ为等边三角形，………１０分如图，在平面ＰＡＤ内作ＤＨ⊥ＡＤ，则ＤＨ⊥平面ＡＢＣＤ，以ＤＡ，ＤＢ，ＤＨ分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立 第１７题答案图空间直角坐标系（如图所示），则Ｄ（０，０，０），Ｂ（０，２槡３，０），Ｃ（－２，２槡３，０），Ｐ（１，０，槡３），………………………１２分→→从而ＢＰ＝（１，－２槡３，槡３），ＢＣ＝（－２，０，０）显然平面ＡＢＣ的一个法向量为ｎ＝（０，０，１）设平面ＰＢＣ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则→ＢＰ·ｍ＝０，ｘ－２槡３ｙ＋槡３ｚ＝０，即→{ＢＣ·ｍ＝０，{－２ｘ＝０，蚌埠市高三年级数学参考答案第２页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}取ｍ＝（０，１，２），记二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的平面角为α，则｜ｍ·ｎ｜１×２２５ｃｏｓα＝ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉＝＝＝槡｜ｍ｜·｜ｎ｜１×槡５５２５即二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的余弦值为槡………………………………………１５分５１８（１７分）１解：（１）记ｇ（ｘ）＝ｔａｎｘ－ｘ，则ｇ′（ｘ）＝－１，………………………………………２分ｃｏｓ２ｘπ因为ｘ∈０，，所以ｃｏｓｘ∈（０，１），所以ｇ′（ｘ）＞０，(２)所以ｇ（ｘ）单调递增，从而ｇ（ｘ）＞ｇ（０）＝０，即ｔａｎｘ＞ｘ………………………………………………４分当ａ＝１时ｘ＞ｘｆ（ｘ）等价于ｘ＞ｓｉｎｘ，记ｈ（ｘ）＝ｘ－ｓｉｎｘ，则ｈ′（ｘ）＝１－ｃｏｓｘ＞０，ｈ（ｘ）单调递增，………………………………………６分所以ｈ（ｘ）＞ｈ（０）＝０，即ｘ＞ｓｉｎｘπ综上，当ａ＝１，ｘ∈０，时，ｔａｎｘ＞ｘ＞ｘｆ（ｘ）…………………………………８分(２)ｘｘａｓｉｎｘｘａｓｉｎｘ（２）＜ｆ（ｘ）等价于＜，记Ｆ（ｘ）＝－，ｔａｎｘｔａｎｘｘｔａｎｘｘ则Ｆ（－ｘ）＝Ｆ（ｘ），π２２所以题设等价于当ｘ∈０，时，Ｆ（ｘ）＜０即ｘｃｏｓｘ－ａｓｉｎｘ＜０(２)当ａ≤０时，Ｆ（ｘ）＞０，不合题意………………………………………………１０分当０＜ａ＜１时，ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ＞ｘ２ｃｏｓｘ－ａｘ２＝ｘ２（ｃｏｓｘ－ａ）π存在θ∈０，，ｃｏｓθ－ａ＝０，(２)因此当ｘ∈（０，θ），ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ＞０，即Ｆ（ｘ）＜０不成立，不合题意……１３分当ａ≥１时，ｘ２ｃｏｓｘ－ａｓｉｎ２ｘ≤ｘ２ｃｏｓｘ－ｓｉｎ２ｘ，２２π记Ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，ｘ∈０，，由于ｔａｎｘ＞ｘ，所以ｓｉｎｘ＞ｘｃｏｓｘ，故(２)Ｇ′（ｘ）＝２ｘｃｏｓｘ－ｘ２ｓｉｎｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＜２ｓｉｎｘ－ｘ２ｓｉｎｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ２２２ｘｘｘ＝－ｓｉｎｘ［ｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）］＝－ｓｉｎｘｘ－４ｓｉｎ＝－４ｓｉｎｘ－ｓｉｎ２＜０(２)[(２)２]π从而Ｇ（ｘ）在０，单调递减，Ｇ（ｘ）＜Ｇ（０）＝０，Ｆ（ｘ）＜０恒成立，符合题意(２)综上，实数ａ的取值范围是［１，＋∞）………………………………………１７分蚌埠市高三年级数学参考答案第３页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}１９（１７分）解：（１）令ｘ＝０，则ｅ（０）＝１由ｅ（ｘ）ｅ（ｙ）＝ｅ（ｘ＋ｙ），令ｙ＝－ｘ，则ｅ（ｘ）ｅ（－ｘ）＝ｅ（０）＝１１因为ｅ（ｘ）≠０，故ｅ（－ｘ）＝………………………………………………５分ｅ（ｘ）（ｉｘ）４ｎ（－ｉｘ）４ｎｘ４ｎｘ４ｎ２ｘ４ｎ（２）证明：因为＋＝＋＝，（４ｎ）！（４ｎ）！（４ｎ）！（４ｎ）！（４ｎ）！（ｉｘ）４ｎ＋１（－ｉｘ）４ｎ＋１ｉｘ４ｎ＋１－ｉｘ４ｎ＋１＋＝＋＝０，（４ｎ＋１）！（４ｎ＋１）！（４ｎ＋１）！（４ｎ＋１）！（ｉｘ）４ｎ＋２（－ｉｘ）４ｎ＋２－ｘ４ｎ＋２－ｘ４ｎ＋２－２ｘ４ｎ＋２＋＝＋＝，（４ｎ＋２）！（４ｎ＋２）！（４ｎ＋２）！（４ｎ＋２）！（４ｎ＋２）！（ｉｘ）４ｎ＋３（－ｉｘ）４ｎ＋３－ｉｘ４ｎ＋３ｉｘ４ｎ＋３＋＝＋＝０，（４ｎ＋３）！（４ｎ＋３）！（４ｎ＋３）！（４ｎ＋３）！∞∞∞２ｘ４ｎ２ｘ４ｎ＋２２（－１）ｋ（－１）ｋｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）＝∑－＝∑ｘ２ｋ＝２∑ｘ２ｋ＝２ｃ（ｘ），ｎ＝０[（４ｎ）！（４ｎ＋２）！]ｋ＝０（２ｋ）！ｋ＝０（２ｋ）！ｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）所以ｃ（ｘ）＝……………………………………………………１１分２ｘ（３）证明：令ｇ（ｘ）＝，则有ｅ（ｘ）－１－ｘｘ１１ｇ（－ｘ）－ｇ（ｘ）＝－＝－ｘ＋ｅ（－ｘ）－１ｅ（ｘ）－１[ｅ（－ｘ）－１ｅ（ｘ）－１]［ｅ（ｘ）－１］＋［ｅ（－ｘ）－１］ｅ（ｘ）＋ｅ（－ｘ）－２＝－ｘ·＝－ｘ·＝ｘ，…………１４分［ｅ（－ｘ）－１］［ｅ（ｘ）－１］２－ｅ（ｘ）－ｅ（－ｘ）∞Ｂ∞Ｂ因此ｘ＝ｇ（－ｘ）－ｇ（ｘ）＝∑ｎ（－ｘ）ｎ－∑ｎｘｎｎ＝０ｎ！ｎ＝０ｎ！∞∞Ｂ２ｋ＋１２ｋ＋１Ｂ２ｋ＋１２ｋ＋１＝－２∑ｘ＝－２Ｂ１ｘ＋ｘｋ＝０[∑]（２ｋ＋１）！ｋ＝１（２ｋ＋１）！∞１Ｂ２ｋ＋１２ｋ＋１故Ｂ１＝－且∑ｘ＝０，即Ｂ２ｋ＋１＝０（ｋ＝１，２，３，…）…………１７分２ｋ＝１（２ｋ＋１）！（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）蚌埠市高三年级数学参考答案第４页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}