蚌埠市２０２４届高三年级第三次教学质量检查考试数 学本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１已知集合Ａ＝｛１，３，５，７，９｝，Ｂ＝｛３，６，９，１２｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ｛３，９｝Ｂ｛１，３，５，６，７，９，１２｝Ｃ｛１，５，７｝Ｄ｛６，１２｝２已知平面向量ａ＝（１，ｍ），ｂ＝（－２，４），且ａ∥ｂ，则ｍ＝１１Ａ２ＢＣ－Ｄ－２２２ｘ２ｙ２３已知曲线Ｃ∶＋＝１（ｍ≠０），则“ｍ∈（０，４）”是“曲线Ｃ的焦点在ｘ轴上”的４ｍＡ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条件２４在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ａ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝１，ｓｉｎＣ＝槡，则２Ａｂ＝１Ｂｂ＝槡２Ｃｃ＝槡２Ｄｃ＝槡３Ｓ５记数列｛ａ｝的前ｎ项和为Ｓ，若ｎ是等差数列，Ｓ＝－８，Ｓ＝０，则ａ＋ａ＝ｎｎ{ｎ}２６３４Ａ－８Ｂ－４Ｃ０Ｄ４６（１－ｘ＋ｘ２）２·（１＋ｘ）３的展开式中，ｘ４的系数为Ａ１Ｂ２Ｃ４Ｄ５４７在一组样本数据中，１，２，３，４出现的频率分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，ｐ４，且∑ｐｉ＝１，则下面四种情形ｉ＝１中，对应样本的标准差最小的一组是Ａｐ１＝０１，ｐ２＝０２，ｐ３＝０３，ｐ４＝０４Ｂｐ１＝０４，ｐ２＝０３，ｐ３＝０２，ｐ４＝０１Ｃｐ１＝ｐ４＝０１，ｐ２＝ｐ３＝０４Ｄｐ１＝ｐ４＝０４，ｐ２＝ｐ３＝０１８已知抛物线Ｃ∶ｙ２＝４ｘ，过其焦点Ｆ的直线交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，Ｍ为ＡＢ中点，过Ｍ作准线的垂线，垂足为Ｎ，若｜ＡＦ｜＝４，则｜ＮＦ｜＝４４３８８３ＡＢ槡ＣＤ槡３３３３蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}书二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。πππ９已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ－（ω＞０）在区间，上单调递增，则ω的值可以是(６)(６２)２４３ＡＢ１ＣＤ３３２１０科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的如果物体的初始温度为θ１℃，－００５ｔ空气温度θ０℃保持不变，则ｔ分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ０＋（θ１－θ０）ｅ若空气温度为１０℃，该物体温度从θ１℃（９０≤θ１≤１００）下降到３０℃，大约所需的时间为ｔ１，若该物体温度从７０℃，５０℃下降到３０℃，大约所需的时间分别为ｔ２，ｔ３，则（参考数据：ｌｎ２≈０７，ｌｎ３≈１１）Ａｔ２＝２０Ｂ２８≤ｔ１≤３０Ｃｔ１≥２ｔ３Ｄｔ１－ｔ２≤６１１已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为４，点Ｎ是底面正方形ＡＢＣＤ内及边界上的动点，点Ｍ是棱ＤＤ１上的动点（包括点Ｄ，Ｄ１），已知ＭＮ＝４，Ｐ为ＭＮ中点，则下列结论正确的是Ａ无论Ｍ，Ｎ在何位置，ＡＰ，ＣＣ１为异面直线３Ｂ若Ｍ是棱ＤＤ中点，则点Ｐ的轨迹长度为槡π１２ＣＭ，Ｎ存在唯一的位置，使Ａ１Ｐ∥平面ＡＢ１Ｃ１ＤＡＰ与平面ＡＢＣＤ所成角的正弦最大值为１１２三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。１－ｘ１２函数ｆ（ｘ）＝槡的定义域为ｌｇｘ２２１３已知曲线Ｃ∶ｘ＋（ｙ－ｍ）＝２和Ｃ１∶ｙ＝ｘ＋２，Ｃ２∶ｙ＝｜ｘ｜＋２，若Ｃ与Ｃ１恰有一个公共点，则实数ｍ＝；若Ｃ与Ｃ２恰有两个公共点，则实数ｍ的取值范围是１４已知△ＡＢＣ的角Ａ，Ｂ，Ｃ满足ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ≤［ｔａｎＡ］＋［ｔａｎＢ］＋［ｔａｎＣ］，其中符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数，若Ａ≤Ｂ≤Ｃ，则ｔａｎＣ－ｔａｎＢ＝四、解答题：本题共５个小题，共７７分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。１５（１３分）ｘ２ｙ２已知双曲线Ｅ∶－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶点是Ａ（－１，０），一条渐近线的方程为ｙ＝ｘａ２ｂ２（１）求双曲线Ｅ的离心率；１１（２）设直线ｙ＝ｘ－与双曲线Ｅ交于点Ｐ，Ｑ，求线段ＰＱ的长２２蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}１６（１５分）寒假期间小明每天坚持在“跑步３０００米”和“跳绳２０００个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为６０％，跳绳的概率为４０％，在下雪天，他跑步的概率为２０％，跳绳的概率为８０％若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为５０％，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为４０％已知寒假第一天不下雪，跑步３０００米大约消耗能量３３０卡路里，跳绳２０００个大约消耗能量２２０卡路里记寒假第ｎ天不下雪的概率为ｐｎ６（１）求ｐ，ｐ，ｐ的值，并证明ｐ－是等比数列；１２３{ｎ１１}（２）求小明寒假第ｎ天通过运动锻炼消耗能量的期望１７（１５分）如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是平行四边形，侧面ＰＡＤ是以ＰＤ为底的等腰三角形，ＡＢ＝ＰＢ＝２ＰＡ＝４，ＡＣ＝２槡７，Ｅ在ＰＤ上，ＡＥ⊥ＢＤ（１）证明：平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ；（２）求二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的余弦值第１７题图１８（１７分）ａｓｉｎｘ已知函数ｆ（ｘ）＝，ａ∈Ｒｘπ（１）当ａ＝１，ｘ∈０，时，证明：ｔａｎｘ＞ｘ＞ｘｆ（ｘ）；(２)ππｘ（２）若ｘ∈－，０∪０，，＜ｆ（ｘ），求实数ａ的取值范围(２)(２)ｔａｎｘ蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}１９（１７分）∞ａｎｎａ２２ａｎｎ对于无穷数列ａ０，ａ１，ａ２，…，ａｎ，…，我们称ｆ（ｘ）＝∑ｘ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ｘ＋…＋ｘ＋…ｎ＝０ｎ！２！ｎ！（规定０！＝１）为无穷数列｛ａｎ｝的指数型母函数无穷数列１，１，…，１，…的指数型母函数∞１ｘ２ｘｎ记为ｅ（ｘ）＝∑ｘｎ＝１＋ｘ＋＋…＋＋…，它具有性质ｅ（ｘ）ｅ（ｙ）＝ｅ（ｘ＋ｙ）ｎ＝０ｎ！２！ｎ！１（１）证明：ｅ（－ｘ）＝；ｅ（ｘ）∞（－１）ｋｘ２ｘ４ｘ２ｋ（２）记ｃ（ｘ）＝∑ｘ２ｋ＝１－＋＋…＋（－１）ｋ＋…ｋ＝０（２ｋ）！２！４！（２ｋ）！ｅ（ｉｘ）＋ｅ（－ｉｘ）证明：ｃ（ｘ）＝（其中ｉ为虚数单位）；２∞ｘｘＢｎｎＢ２２（３）以函数为指数型母函数生成数列｛Ｂｎ｝，＝∑ｘ＝Ｂ０＋Ｂ１ｘ＋ｘ＋ｅ（ｘ）－１ｅ（ｘ）－１ｎ＝０ｎ！２！Ｂ…＋ｎｘｎ＋…其中Ｂ称为伯努利数ｎ！ｎ１证明：Ｂ＝－且Ｂ＝０（ｋ＝１，２，３，…）１２２ｋ＋１蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}