2023-2024学年高三上学期数学期中考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）单项选择题（每小题5分，共40分）1．将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为（    ）A．6 B．12 C．18 D．242．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（    ）x01234y2.24.34.54.86.7A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.13．已知函数是上的奇函数，当时，，且，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．4．设为等差数列的前项和，，，则的值为（    ）．A． B． C． D．5．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点和点满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若，其中O为坐标原点，则m与θ的值（    ）A．m不确定， B．，θ不确定C．， D．m不确定，θ不确定6．已知定义在内的函数满足，当时，，则当时，方程的不等实数根的个数是A． B． C． D．7．已知函数的部分图象如图所示,A． B． C． D．8．在复平面内，复数所对应的点在第几象限A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．在如图所示的三棱锥V—ABC中，已知AB＝BC，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，P为线段VC的中点，则（    ）A．PB与AC垂直B．点P到点A，B，C，V的距离相等C．PB与VA平行D．PB与平面ABC所成的角大于∠VBA10．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）A．当时，函数在上是减函数B．当时，方程有实数解C．对任意，，存在唯一极值点D．对任意，，曲线过坐标原点的切线有两条11．已知函数下列说法正确的是（    ）A．对），都只有唯一的与之对应B．对，都有两个不同的与之对应C．对，都有三个不同的与之对应D．，有四个不同的与之对应12．下列化简正确的是（    ）A． B．C． D．第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．被3除余2的所有正整数组成的集合为.14．满足的集合的个数为.15．小明同学晚上10:00下晚自习，搭乘地铁1号线回家，东西两个方向的地铁都是10分钟一趟，哪一趟先到，小明就坐哪一趟，向东去姥姥家，向西去奶奶家．已知向东去的地铁到站后间隔4分钟向西去的地铁到站，若地铁到站停留时间忽略不计，且每月按25天上课计算，则小明每月去奶奶家的天数为．16．已知是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量，若，，则与的位置关系是．四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）17．已知集合，，当时，求实数的取值组成的集合.18．已知公差为1的等差数列，依次为一个等比数列的相邻三项.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项和.19．某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：.(1)根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；(2)现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？附：相关系数.20．如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求与所成的角；(2)求直线与面所成的角的余弦值.21．定义在R上的函数，当，且对任意，有.(1)求证：对任意，都有；(2)判断在R上的单调性，并用定义证明；(3)求不等式的解集.22．已知．(1)求的值；(2)求的展开式中含项的系数．参考答案：1．D【分析】由题意得，分甲得一本书和甲得两本书两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果.【详解】当甲得一本书时，先从除1号书外的3本书中选1本给甲，然后将剩下的3本书分成两组分给其余的两人，所以有种；当甲得两本书时，先从除1号书外的3本书中选2本给甲，然后剩下两本书给其余两人每人一本，所以有种，所以由分类加法原理可得共有24种，故选：D．2．B【解析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，，∴∴，∴回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.3．D【分析】根据函数的奇偶性确定及，进而确定函数的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】由函数是上的奇函数，且当时，，则当时，，，所以，当时，单调递增，，当时，单调递增，且时，，所以函数在上单调递增，又，则，解得，故选：D.4．D【分析】本题首先可根据得出，然后设公差为，则，最后通过等差数列求和公式即可得出结果.【详解】因为数列是等差数列，所以，，则，，设等差数列的公差为，则，，故，故选：D.5．C【分析】可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出，进而得出.【详解】解：，可得，所以，，又，所以.故选：C.6．D【分析】根据分段函数的特点分别判断单调性并画出图象，将方程的不等实数根的个数，转化为函数与直线的交点个数，分别画出图象可得答案．【详解】根据题意可得，又，所以周期为；当时，为过点，斜率为的线段；当时，为过点，斜率为的线段；构造函数，则，即在是一个恒为递减的函数；，，作函数与直线的图象如下，结合图象可知，函数与直线的图象有7个交点，故方程的不等实数根的个数是7，故选：D．【点睛】7．B【分析】根据图像得到，然后根据图像得到周期，由，得到的值，然后代入点得到，根据的范围，确定其值，从而得到函数解析式，代入，得到答案.【详解】根据图像可得，，所以，而，所以代入点，得到即，所以，即因为所以所以代入得，故选B项.【点睛】本题考查利用三角函数的图像求正弦型函数的解析式，求正弦型函数的函数值，属于简单题.8．D【分析】化简复数，找到对应点，判断象限.【详解】复数对应点为：在第四象限故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.9．AB【分析】利用线面垂直的判定定理可得VA⊥平面ABC,进而得到BC⊥平面VAB,从而得到△VBC,△VAC都是直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质即可判定B正确；取AC的中点为Q，连接BQ,可证AC⊥平面BPQ,进而判定A；利用PB与PQ是相交直线，PQ∥VA，可判定C错误；根据线面所成角的定义得到∠PBQ就是直线PB与平面ABC所成的角，比较其正切值与∠VBA的正切值的大小，即可否定D.【详解】∵∠VAB＝∠VAC＝90°，∴VA⊥AB,VA⊥AC,又∵AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,又∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC,又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC,∵VA∩AB=A,∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VB,∴△VBC,△VAC都是直角三角形，又∵P为VC的中点，∴PA=PV=PC=PB,故B正确；取AC的中点为Q，连接BQ,PQ,∵AB=AC,∠ABC=90°，∴BQ⊥AC,又∵P为AC的中点，∴PQ∥VA,由VA⊥AC,∴PQ⊥AC，又∵BQ∩PQ=Q,∴AC⊥平面BPQ,∴AC⊥BP，故A正确；PB与PQ是相交直线，PQ∥VA，∴VA与PB不平行，故C错误；由于VA⊥平面ABC,PQ∥VA,∴PQ⊥平面ABC,∴∠PBQ就是直线PB与平面ABC所成的角，，∴,故D错误.故选：AB.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，线面所成角，直线与直线的位置关系，关键是熟练使用线面垂直的判定定理证明有关线面垂直.10．ACD【分析】对于A，求导之后分类讨论，即可判断；对于B，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于C，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于D，设切点为，则可得，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；【详解】对于A，当时，则，所以，当时，若，则，则，，所以，则单调递减；当时，若，则，则，，所以，则单调递减；所以当时，函数在上是减函数，故A正确；对于C，由已知，函数，可得，令，则即在R上单调递增，令，则，当时，做出函数的大致图像如图：当时，做出函数的大致图像如图：可知的图像总有一个交点，即总有一个根，当时，；当时，，此时存在唯一极小值点，C正确；对于B，当时，，，故，该函数为R上单调增函数，，故，使得，即，结合C的分析知，的极小值也即最小值为，令，则，且为增函数，当时，，当且仅当时取等号，故当时，，则在上单调递增，故，令，则，此时的最小值为，无零点，B错误；对于D，由于，故原点不在曲线上，且，设切点为，则，即，即，令，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故，当趋向负无穷时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，当趋向正无穷时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，故在和上各有一个零点，即有两个解，故对任意，，曲线过原点的切线有两条，D正确；故选：ACD【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.11．BC【分析】作出函数的图象，利用数形结合法求解即可.【详解】作出函数的图象如图所示：对于A，由图象可知，当时，有两个与对应，故A错误；对于B，对，都有两个不同的与之对应，故B正确；对于C，对，都有三个不同的与之对应，故C正确；对于D，由图可知，该说法错误，故D错误.故选：BC12．AD【分析】根据三角和差公式与二倍角公式判断即可.【详解】A选项：由，所以成立，A正确；B选项：，B错；C选项：，C错；D选项：因为，所以成立，D正确故选：AD13．【分析】应用描述法写出集合即可.【详解】设正整数为，则，故.故答案为：14．4【分析】根据子集的定义即可得到集合的个数.【详解】，或或或，故答案为：4.15．10【分析】先利用等可能性时间的概率公式求出小明坐向西去的地铁的概率，即可求出小明每月去奶奶家的天数.【详解】向东去的地铁到站后间隔4分钟向西去的地铁到站，再间隔6分钟，向东去的地铁又到站，故小明坐向西去的地铁的概率为，故小明每月去奶奶家的天数为．故答案为：1016．或/或【分析】根据空间向量的数量积运算得出，则，结合直线的方向向量和平面的法向量关系，即可判断与的位置关系.【详解】解：已知是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量，且，，，所以，则直线在平面内或直线与平面平行，所以或.故答案为：或.17．【解析】由知.而，这样只能是，由韦达定理可求得．【详解】解：由知.又，故此时必有，即-4，0为方程的两根，于是得.即.【点睛】本题考查由集合并集的结果求参数．由包含关系及集合的表示确定集合是解题关键．18．（1）；（2）.【分析】（1）根据成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得，相加相消即可求解.【详解】（1）因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）因为，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解.19．(1)相关系数;可用线性回归模型拟合(2)家庭损失较大【分析】（1）由相关系数的公式可直接代入求解，再通过相关系数即可判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（2）由于家庭套小白兔这个试验是独立重复则家庭套住小白兔的人数为且，可求，由家庭的盈利，利用期望的性质可得；由于家庭套小白兔这个试验是独立不重复，所以可用独立事件的概率公式求家庭套住小白兔的人数为得分布列，进而