2023-2024学年度第一学期高三年级阶段检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】，所以该复数在复平面内对应的点为，在第二象限故选：B.2.已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.【详解】由题可知图中的阴影部分表示，或，则，所以或.故选：A.3.命题：函数的最大值为，函数的最小值为；命题：的最大值为，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可.【详解】设，分别存在最大值和最小值，则的最大值为，所以充分性不成立；设，，取得最大值为1，但不存在最小值，所以必要性不成立．故选:D．4.已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积公式，结合夹角的范围建立不等式，求出的取值范围.【详解】设的夹角为，由及单位向量，得，显然，且，于是，而，因此，解得，所以的取值范围是.故选：C5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟【答案】B【解析】【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6.若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（）A.-3 B. C.1 D.-3或1【答案】A【解析】【分析】根据题意可设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，求导从而得出直线的斜率，进而求得直线的方程，然后结合题意可分析出直线与直线之间的距离为，求得的值，再分析验证是否满足题意即可.【详解】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，对于，定义域为，则，所以有，直线的斜率，又因为直线与直线平行，则有，解得：，则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，当时，直线即为与曲线没有交点，曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；当时，直线即为与曲线有个交点，曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；故.故选：A.7.已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】首先根据等差数列的公差为，得出，即数列是周期为3的数列，设，得出和，即可得出集合中元素，进而得出答案．【详解】因为等差数列的公差为，所以，所以，所以数列是周期为3数列，又，所以或或，则符合题意，此时，所以，所以，排除,只有符合,故选：.8.函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先通过条件，以及与的图象关于对称，的图象关于对称得到，然后利用等量代换以及基本不等式可分别判断各个选项.【详解】由已知，即，，即，令，则，又因为与的图象关于对称，的图象关于对称，所以与分别与的交点关于对称，所以，即，又因为，，由零点存在性定理可知，又，即，所以，对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，又，，C正确；对于D：，当且仅当，即时等号成立，不可能，所以，D错误.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（）A.在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在【答案】ACD【解析】【分析】根据统计图表一一判断即可.【详解】由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误；早睡人群睡眠指数主要集中在，晚睡人群睡眠指数主要集中在，选项B正确，选项D错误；早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误．故选：ACD.10.已知，且，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】三角展开求出和，然后代入验证CD即可.【详解】由，由，由上两式解得，所以A,B正确；对于C：，C错误；对于D：，所以或者，又因为，所以，所以，D正确，故选：ABD11.已知，则下列不等关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】将看作的图象与直线交点的横坐标，数形结合可判断A，B；结合题意可推出，利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造函数，利用其单调性可判断D.【详解】由可知，若，则，则不成立，又时，，故，又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，作出与的图象如图，结合图象可知，故A错误，B正确；由，，得，故，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，由于，故，即，故，D正确，故选：BCD12.若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（）A.函数的最小正周期是πB.函数在上单调递减C.函数的图象向左平移个单位后关于对称D.若圆C的半径为，则【答案】AD【解析】【分析】A选项，由图象得到，进而得到最小正周期；B选项，求出，，从而得到，判断出函数不单调；C选项，求出平移后的解析式，得到当时，，故不关于对称；D选项，由圆的半径求出，进而代入解析式，求出，得到答案.【详解】A选项，由图象可知，关于点中心对称，故，设的最小正周期为，则，解得，A正确；B选项，因为，所以，故，将代入解析式得，，因为，所以，故，解得，故，当时，，因为在上不单调，故在上不单调，B错误；C选项，函数图象向左平移个单位后，得到，当时，，故不关于对称，C错误；D选项，圆C的半径为，由勾股定理得，故，将其代入中，得，解得，故，D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”的否定为______．【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定形式解决问题即可.【详解】由全称命题的否定形式可知命题“，”的否定为“，”.故答案为：，.14.复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______【答案】20【解析】【分析】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积.【详解】设，则.所以点的坐标分别为又两点连线的中点对应的复数为，解得.又的面积为.故答案为：.15.设正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比为________．【答案】【解析】【分析】设正项等比数列的公比为，根据和的关系可得，结合题设条件从而求得的值.【详解】因为，，故即，因为等比数列为正项数列，故，所以．故答案为：3．【点睛】本题考查等比数列的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．16.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时，______________．【答案】##【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】设圆的半径为r，，∵，∴，在中由正弦定理可得，∴，在中由正弦定理可得，∴，，当时四边形的面积取得最小值，此时，∴.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量，，．设．（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，然后利用三角公式整理为的形式，就可以求出周期了；（2）先通过求出，再通过展开计算即可.【小问1详解】，所以的最小正周期为；【小问2详解】由（1）得，由得，所以，则．18.电视传媒公司为了了解南京市区电视观众对某部韩剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对某部韩剧的态度，其结果如下：态度城市男女合计喜欢6060不喜欢2040合计（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关?（2）经统计得，不喜欢该电视剧的为老年人，从老年人中任取5人，随机变量X表示所取男女老年人相差的个数．求X的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）没有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用卡方计算并根据表格判断即可；（2）利用随机变量的分布列和期望公式计算即可.【小问1详解】由表格数据得：，没有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关；【小问2详解】在不喜欢韩剧的60人中，老年人占15人，其中男的有10人，女的有5人．X的可能取值为1，3，5，则，，，X的分布列为分X135P所以．19.已知数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式：（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列前n项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得数列是首项为1，公差为的等差数列，则有，再根据求解即可；（2）根据已知条件可得，，由裂项相消可得，即可得证.【小问1详解】解：由，得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，因此，故．于是当时，．满足，所以；【小问2详解】证明：因为是等差数列，所以，又，所以，所以的公差满足，所以．故，所以，所以．20.如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，.（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）可证，再利用平面平面证得平面，通过证明，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连结、、，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以且.又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.（2）解：因为菱形，所以.所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，所以，，设平面的法向量为，由得，取，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦