专题04三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）A．1 B．4 C．8 D．93．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（    ）A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-504．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.565．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（    ）A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—006．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设，定义运算，则函数的最小值为（    ）A． B． C． D．8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差，则集合相对于的“正弦方差”为（    ）A． B． C． D．与有关的值10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得（    ）A． B．C． D．11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（    ）A． B． C． D．13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是A． B．C． D．14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ）A． B．3 C． D．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（    ）A． B． C． D．17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ）A．与的最小正周期均为B．与的图象均关于直线对称C．的最大值是的最小值D．与的图象关于原点中心对称18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ）A． B． C． D．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ）A．B．C．若，则D．函数的最大值为20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ）A．函数在上是减函数B．函数的最小正周期为C．D．三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把叫做对的余弦方差，那么对任意实数B，B对的余弦方差是______．22．（2022·全国·高一专题练习）已知都是定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是，在上生成的函数.若，以下四个函数中：①；      ②；③；     ④.所有是在上生成的函数的序号为________.23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如的式子叫做行列式，其运算法则为，则行列式的值是___________.24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有__________．（选填序号）25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；           ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；    ④该函数为周期函数，且最小正周期为；⑤该函数的递增区间为.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，．顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)的值为（    ）A．            B．            C．        D．(2)对于，的正对值的取值范围是______．(3)已知，其中为锐角，试求的值．30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数，平面内一点坐标，我们称为函数的“相伴特征点”，为的“相伴函数”．（1）已知，求函数的“相伴特征点”；（2）记的“相伴函数”为，将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，作出在上的图象．31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间，表示函数在区间上的最大值，则______，若，则的值为______．32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立．（1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________．（2）若函数，则实数的取值集合为__________．