专题30动量守恒定律及其应用（三）51．（2021·广东）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔，乙与边框a相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取。（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。【答案】（1）能；（2）0.2s【解析】（1）由牛顿第二定律可得，甲乙滑动时均有则甲乙滑动时的加速度大小均为甲与乙碰前的速度v1，则解得v1=0.3m/s甲乙碰撞时由动量守恒定律解得碰后乙的速度v3=0.2m/s然后乙做减速运动，当速度减为零时则可知乙恰好能滑到边框a；（2）甲与乙碰前运动的时间碰后甲运动的时间则甲运动的总时间为52．（2021·河北）如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。【答案】（1）；（2）【解析】（1）设斜面长度为，背包质量为，在斜面上滑行的加速度为，由牛顿第二定律有解得滑雪者质量为，初速度为，加速度为，在斜面上滑行时间为，落后时间，则背包的滑行时间为，由运动学公式得联立解得或故可得（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为、，有滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为，有解得53．（2020·海南）如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径，传送带的长度L=1.25m，传送带以速度顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数，。求（1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小；（2）碰后小物块a能上升的最大高度；（3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。【答案】（1）30N；（2）0.2m；（3）1s【解析】（1）设小物块a下到圆弧最低点未与小物块b相碰时的速度为，根据机械能守恒定律有代入数据解得小物块a在最低点，根据牛顿第二定律有代入数据解得根据牛顿第三定律，可知小物块a对圆弧轨道的压力大小为30N。（2）小物块a与小物块b发生弹性碰撞，根据动量守恒有根据能量守恒有联立解得，小物块a反弹，根据机械能守恒有解得（3）小物块b滑上传送带，因，故小物块b先做匀减速运动，根据牛顿第二定律有解得则小物块b由2m/s减至1m/s，所走过的位移为代入数据解得运动的时间为代入数据解得因，故小物块b之后将做匀速运动至右端，则匀速运动的时间为故小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间54．（2020·江苏）一只质量为的乌贼吸入的水，静止在水中。遇到危险时，它在极短时间内把吸入的水向后全部喷出，以的速度向前逃窜。求该乌贼喷出的水的速度大小v。【答案】【解析】乌贼喷水过程，时间较短，内力远大于外力，动量守恒；选取乌贼逃窜的方向为正方向，根据动量守恒定律得解得喷出水的速度大小为55．（2020·天津）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；（2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？【答案】（1）；（2）【解析】（1）A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有①A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为，有②由动量定理，有③联立①②③式，得④（2）设两球粘在一起时速度大小为，A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足⑤要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为，由动量守恒定律，有⑥又⑦联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B的动能至少为⑧56．（2020·山东）如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn；(3)求物块Q从A点上升的总高度H；(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。【答案】(1)P的速度大小为，Q的速度大小为；(2)（n=1，2，3……）；(3)；(4)【解析】(1)P与Q的第一次碰撞，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得            ①由机械能守恒定律得        ②联立①②式得            ③            ④故第一次碰撞后P的速度大小为，Q的速度大小为(2)设第一次碰撞后Q上升的高度为h1，对Q由运动学公式得        ⑤联立①②⑤式得            ⑥设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得        ⑦联立①②⑤⑦式得            ⑧P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得    ⑨由机械能守恒定律得        ⑩联立①②⑤⑦⑨⑩式得            ⑪            ⑫设第二次碰撞后Q上升的高度为h2，对Q由运动学公式得        ⑬联立①②⑤⑦⑨⑩⑬式得    ⑭设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得        ⑮联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮式得            ⑯P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得            ⑰由机械能守恒定律得        ⑱联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮⑰⑱式得            ⑲            ⑳设第三次碰撞后Q上升的高度为h3，对Q由运动学公式⑩得        ㉑联立①②⑤⑦⑨⑩⑬⑮⑰⑱㉑式得            ㉒总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为（n=1，2，3……）        ㉓(3)当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得    ㉔解得            ㉕(4)设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t1，由运动学公式得            ㉖设P运动到斜面底端时的速度为，需要的时间为t2，由运动学公式得            ㉗        ㉘设P从挡板碰撞返回后从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t3㉙当A点与挡板之间的距离最小时            ㉚联立㉖㉗㉘㉙㉚式，代入数据得            ㉛57．（2020·浙江）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道和倾角的斜轨道平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道和间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，，）【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不会冲出；(3)（）；（）【解析】(1)机械能守恒定律牛顿第二定律牛顿第三定律方向水平向左(2)能在斜轨道上到达的最高点为点，功能关系得故不会冲出(3)滑块运动到距A点x处的速度为v，动能定理碰撞后的速度为，动量守恒定律设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h，动能定理得58．（2019·海南）如图，用不可伸长轻绳将物块a悬挂在O点，初始时，轻绳处于水平拉直状态，现将a由静止释放，当物块a下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的物块b发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后b滑行的最大距离为s，已知b的质量是a的3倍，b与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，求(1)碰撞后瞬间物块b速度的大小；(2)轻绳的长度。【答案】(1)；(2)4μs【解析】(1)设a的质量为m，则b的质量为3m，对物块b碰后由动能定理解得(2)a球从水平位置摆下的过程ab碰撞的过程解得59．（2019·全国）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为，；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为。重力加速度取。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？【答案】（1）4.0m/s，1.0m/s；（2）B先停止；0.50m；（3）0.91m【解析】（1）设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有解得vA=4.0m/s，vB=1.0m/s（2）A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，二者运动的过程中，若A一直向右运动，一直到停止，则对A由动量定理可得则B一直向左运动，则解得可知B先停止运动，该过程中B的位移解得从二者分开到B停止，A若一直向右运动，由动量定理可得B停止时A的速度解得对A由动能定理可得则位移这表明在时间t2内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边的距离为B位于出发点左边0.25m处，两物块之间的距离s为（3）t2时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为，由动能定理有解得            故A与B将发生碰撞．设碰撞后A、B的速度分别为′以和，由动量守恒定律与机械能守恒定律有，解得，     这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为′时停止，B向左运动距离为时停止，由运动学公式，解得，小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离60．（2019·全国）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。（1）求物块B的质量；（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。【答案】（1）3m；（2）；（3）【解析】（1